Numeros Naturales Y Enteros

Capítulo 1

Números naturales y números enteros
Empezamos aquí a estudiar los números naturales. Todos sabemos que al hablar de los números
naturales nos estamos refiriendo a los números 0, 1, 2, · · · . Sin embargo, para un estudio de algunas
propiedades de los números naturales esta definición de números naturales es totalmente insuficiente.
Necesitamos fijar una base como punto de arranque, apartir de la cual iremos desarrollando la teoría.
La primera cuestión que nos planteamos es donde situar el punto de partida. Las posibilidades son
varias. Por ejemplo, podemos empezar postulando la existencia de un conjunto (los números naturales)
que satisface una serie de axiomas (los axiomas de Peano). A partir de estos axiomas podemos definir las
operaciones básicas que todos conocemos (sumay producto) y el orden.
También es posible situar el punto de arranque en la teoría de conjuntos, y en el marco de esta teoría
construir un conjunto (N) del cual se demuestra que satisface los axiomas de Peano. En este caso, los
axiomas de Peano son una consecuencia de la construcción hecha de N, mientras que en el caso anterior
estos axiomas constituyen el principio de la teoría. Una vezdemostrados los axioms de Peano, se enlazacon
el caso anterior.
Estos planteamientos, sin embargo, no nos interesan en este momento. Nosotros supondremos que
tenemos un conjunto, representado por N, cuyos elementos son los números naturales, y que en este
conjunto tenemos definidas dos operaciones (suma y producto), de las que conocemos sus propiedades
básicas. Tenemos definido también un orden de losnúmeros naturales, y sabemos que los números naturales satisfacen el axioma de inducción. En la sección siguiente recordaremos todas estas propiedades y
axiomas.
También supondremos la existencia de los números enteros (Z), los números racionales (Q), los números
reales (R) y los números complejos (C) con su estructura algebraica y de orden (salvo en C).

1.1.

Principio de inducción y recurrenciaComo hemos dicho, comenzamos suponiendo que tenemos un conjunto N. Los elementos de este
conjunto se llaman números naturales.
Dados dos números naturales, m y n, hay definidos dos nuevos números naturales, llamados respectivamente suma y producto de m y n, y representados mediante m + n y m · n (o simplemente mn). Estas
operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
i) Para cualesquiera m, n, p∈ N, (m + n) + p = m + (n + p) (es decir, la suma es asociativa).
ii) Para cualesquiera m, n ∈ N, m + n = n + m (es decir, la suma es conmutativa).
iii) Existe en N un elemento, representado por 0 tal que para cada m ∈ N se tiene que m + 0 = m
(existencia de elemento neutro para la suma).
iv) Si m + n = m + p entonces n = p (Propiedad cancelativa).
v) Para cualesquiera m, n, p ∈ N, (m · n) · p =m · (n · p) (es decir, el producto es asociativo).
vi) Para cualesquiera m, n ∈ N, m · n = n · m (es decir, el producto es conmutativo).
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NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
vii) Existe en N un elemento, representado por 1 tal que para cada m ∈ N se tiene que m · 1 = m
(existencia de elemento neutro para el producto).
viii) Si m · n = m · p y m = 0 entonces n = p.
ix) Para cualesquiera m, n,p ∈ N, m · (n + p) = m · n + m · p (la suma es distributiva respecto al
producto).
También en N hay definida una relación como sigue:
m ≤ n si existe p ∈ N tal que m + p = n

que satisface las siguientes propiedades:
x) m ≤ m para todo m ∈ N.
xi) Si m ≤ n y n ≤ m entonces m = n.
xii) Si m ≤ n y n ≤ p entonces m ≤ p,
xiii) Para cualesquiera m, n ∈ N, m ≤ n ó n ≤ m.
xiv) m ≤ n implica que m + p ≤ n+ p para todo p ∈ N.
xv) m + p ≤ n + p implica que m ≤ n.
xvi) m ≤ n implica que m · p ≤ n · p.
xvii) Si m · p ≤ n · p y p = 0 entonces m ≤ n.
Todo lo dicho anteriormente es igualmente válido para otros conjuntos, como Q+ , R+ , los múltiplos
positivos de 21 , etc. Lo que distingue a N de estos conjuntos es el Principio de inducción.

Principio de inducción:
Si A es un subconjunto de N tal...