Numeros reales

Números reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R=QUI

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , N, Z y Q es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de laspropiedades que hemos visto para los conjuntos Q e I son heredadas por R. 
Como ya se ha visto, Q es denso en R . También es denso en R.

Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , N,Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable


R* = R – {0} 
Reales positivos R+ 
Reales negativos R- Q* = Q - {0} 
Racionales positivos:Q+ 
Racionales Negativos:Q- 

Además podemos agregar las siguientes caracteristicas de conjuntos de los números reales 

a) N∩Z- = ø El conjunto de los números naturales no tiene elementos en común con el subconjunto de los enteros negativos, por lo tanto, su intersección es conjunto vacío. 

b) Q- UQ+ = Q* Al unir los subconjuntos Q- y Q+ Se obtienetodos los Q- y Q+ sin el cero es decir, Q* 

c) I∩R- = I- Al intersectar los irracionales con los reales negativos, los elementos comunes a ambos son los irracionales negativos. 

d) NUI = NUI Como el conjunto N no tiene elementos en común con el conjunto I, su unión no corresponde a ningún conjunto o subconjunto notable y por ello el resultado se expresa de esa forma. 

e) R* U {0} = R Elconjunto de los números reales sin el cero se denota así: R*, por lo tanto al unirlo con el cero se obtiene todo el conjunto R


NUMEROS ENTEROS
Características
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
El cero, O, divide a la recta en dos semirrectas iguales
Las semirrectas se dividen a su vez en partes iguales
Los números enteros positivos sitúan a la derecha del cero.
Los númerosenteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.


VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) entre dicho número y el cero en la recta numérica.
En la práctica se escribe entre dos barras || y resulta el mismo número sin su signo.
|+b|=b      |-a|=a
Si a es mayor o igual que cero, |a| = a
Si a es menor que cero, |a| = -a
EJEMPLO
1.Hallamos un número entero que represente las siguientes expresiones:
- Hace una temperatura de 7 grados bajo cero. → -7ºC
- El submarino está a 100 metros bajo el nivel del mar. → -100 m
- El saldo de su cuenta bancaria es de 175 €. → +175 €
2.Obtenemos los siguientes valores absolutos:
Valor absoluto de -3.  → |-3| = 3                          Valor absoluto de +6. → |+6| = 6

OPUESTO DE UNNÚMERO ENTERO
 El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.
El opuesto es un número entero es su simétrico respecto del cero en la recta numérica, y a ambos números les separa la misma distancia de él.

COMPARACIÓN DE ENTEROS
¿Qué temperatura es más baja: -5ºC , -2ºC o +2ºC?

 Los numeros enteros están representados de forma crecientesobre la recta numérica: por tanto, -5 es menor que -2, y éste, a su vez, es menor que +2. Se escribe: -5< -2< +2.
El mayor de dos números enteros es el que está situado más a la derecho en la recta numérica
 - De dos enteros positivos es mayor el de mayor valor absoluto.
    Así, +3 b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como(-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como
(-a)(-b)=ab
(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.
Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se...