numeros reales

-Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
-El conjunto de los números naturales surge con la necesidad del hombre de contar todo lo que lo rodea.

* Números naturales y enteros
Los conjuntos de los números naturales y enterosson los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.
Concepto denúmero natural
El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluireste elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

-Números enteros
Operacionescon números enteros
En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma yproducto. Dados dos números enteros a 5 (a1, a2) y b 5 (b1, b2), la suma se define como:

Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8, 5) = 3. Por su parte, el producto se obtiene como:

Así, el producto de 4 por(-1) se calcularía como: (4) × (-1) = (5, 1) × (3, 4) = =(5 × 3 + 1 × 4, 5 × 4 + 1 × 3) = (19, 23) = 24.
Números enteros Z
Los enteros son los números reales …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
Se denotan por el símbolo Z y se pueden escribir como Z={…,−2,−1,0,1,2,…}

Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, esdecir, la suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros da otro número entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo 3 y 7, no necesariamente es un entero. Así, la operación división no es cerrada respecto a los números enteros.

_Números racionales Q
Los números racionales son los reales que pueden ser expresados como razón de dos enteros. Se denota el conjunto de losnúmeros racionales por Q, así que
Q={pq | p,q∈Z}
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5=51; por tanto, Z es un subconjunto de Q.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por el 0).


*Números Irracionales I
Los números irracionales son los reales queno son racionales, es decir, los números reales que no pueden ser expresados por el cociente de dos números enteros. Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complemento del conjunto de números racionales. Así, pues, se tiene que
R=Q∪I
Algún ejemplo de números irracionales pueden ser 2√,π,5√3,etc.
Decimales y números reales
Todo número real se puede representar como un "decimalcon infinitas cifras". La representación decimal de un número racional pqse encuentra "dividiendo el numerador p por el denominador q". Si la división dicha se acaba, como en
3/8=0.375=0.375000…
Si la división p por q no acaba, se sabe entonces que hay un tramo de cifras que se repite continuamente; por ejemplo
2/11=0.181818…
Ahora bien, lo que caracteriza a los números reales respecto a...