Numeros reales

LOS NUMEROS REALES
Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En
él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ”
Relación de igualdad
Definición:

R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬

Propiedades de la relación “ = ” :
A1

Reflexividad :

∀a∈ℜ ⇒ a = a

A2

Simetría :

∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = aA3 Transitividad :

∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b ∧ b = c ⇒ a = c

Operaciones en ℜ
Definición:

Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ

Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ
Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) :
B1 Conmutatividad :
B2 Asociatividad :
B3

Existe un elemento identidad para la suma :

B4

Existencia de elementos inversos para la suma :B5 Conmutatividad :
B6 Asociatividad :

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+a
a+0 = 0+a=a
a + (-a) = (-a) + a = 0
a.b = b.a
a.(b.c) = (a.b).c

B7

Existe un elemento identidad para la multiplicación:

a.1 = 1.a = a

B8

Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 :

a . a-1 = a-1 . a = 1

B9

Ley distributiva:

a.(b+c) = a.b+a.c

1

La compatibilidad entre estasdos operaciones y la relación de igualdad, se establece
mediante las leyes:
Si a = b

⇒ a+c = b+c

Si a = b ⇒ a . c = b . c

;

En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación

Teorema 1.

(neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.

Demostración:

Se emplea el Método de Reducción al Absurdo.

Supongamos la

existencia de otro elemento neutro parala suma, designado como 0* ≠ 0.
Entonces aplicando B2 se tiene:
0* + 0 = 0

y

0 + 0* = 0*

Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3),

se concluye

que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y
entonces el neutro para la suma es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.
En ℜ, los elementos inversos para lasuma y para la multiplicación son

Teorema 2.

únicos.

Demostración:

Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la
suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple:

a + (-a) = 0

y

a + a´ = 0

[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a)
(-a) = a´

⇒

a + (-a) = a + a´

⇔

⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego

⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y elinverso aditivo es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.

2

Teorema 3:

i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0
ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1

Demostración:

i)

a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces:
0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0

ii)

COROLARIO:Demostrar de manera análoga.

i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y
b = -a
ii)

Por unicidad del inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y
b = a-1

Teorema 4:

∀ a ∈ ℜ; a . 0 = 0

Demostración:

Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto:
0 . a = (0 + 0).a
0 . a = 0.a + 0.a

Distributividad.

(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a
0 = a . 0+ [ (-0 . a) + 0 . a ]
0 = a.0 = 0.a

En particular, por este teorema:

Teorema 5:

i)

0 . 0 = 0

y

1 . 0 = 0

∀ a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:

- (-a) = a

ii)

(-a) . b = - (ab)

iii)

a . (-b) = - (ab)

Demostración:

TAREA

3

∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:

Teorema 6:

i) (a-1)-1 = a

ii) a-1 b = (a . b-1)-1

iii) a. b-1 = (a-1 . b)-1

iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1

Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a
= 1.a = a
Tarea:

⇒

(a-1)-1 = a

Demostrar i), ii), iii) e iv).

Teorema 7:

Leyes de Cancelación:
i) a + b = a + c ⇔ b = c

Demostración:

ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0

ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c

por la...