Numeros Reales

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Número real

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales(trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden serdescritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad,y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de lasdefiniciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Evolución del concepto de número
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico denúmero. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplosde la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusade un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si  es un número racional donde  está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².
La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que  es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todonúmero era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.2
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones(proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos...