Numeros Reales

Los números reales.

El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales y dos operaciones; las de adición y multiplicación. Este conjunto se representa con la letra " ", así mismo la operación de adición se representa con el símbolo + y la multiplicación con el símbolo *.
Así si a y b forman parte del conjunto . a + b designa la suma de a y de b, ya*b o (ab) designara el producto. Para la operación de sustracción se utiliza el símbolo "-" así tendríamos que a - b = a + (-b). Y la operación de división se define con la ecuación: a/b = a*b-1 donde b-1 representa el reciproco de b.
Un numero real puede ser positivo, negativo o cero, además de que se clasifican en:

Números naturales:
Son los números mas "básicos" por así decirlo, losnúmeros enteros positivos excluyendo el 0.
N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,etc}
Números enteros:
Es el conjunto de números enteros positivos y negativos incluyendo al cero.
Z={...-1,0,1...}
Números racionales:
"Un numero racional es cualquier numero que se puede expresar como la razón de dos enteros"
Un numero racional es un numero de la forma p/q donde "p" y "q" son enteros y q≠0.
Así los númerosracionales comprenden los enteros(positivos, negativos y cero), las fracciones positivas y negativas, los decimales conmensurables negativos y positivos y los decimales inconmensurables periódicos positivos y negativos.
Números no racionales:
Los números reales no racionales se denominan irracionales y son los decimales inconmensurables no periódicos como "pi", "e" o la raíz cuadrada de casi cualquiernumero primo.

Este sistema (el de los números reales) se puede describir completamente por un conjunto de axiomas (que es un enunciado que se toma por verdadero aun sin necesidad de ser demostrado pero que se podría demostrar de ser necesario) con los que se pueden deducir sus propiedades de las que siguen las operaciones de suma, resta, multiplicación y división así como diversos conceptosalgebraicos.
A las propiedades que pueden ser demostradas como consecuencias lógicas de los axiomas se les denomina teoremas, estos enunciados suelen dividirse en dos partes, el "si" que se conoce como la hipótesis y el "entonces" conocido como conclusión.

Axiomas de los números reales.

Estos axiomas responden la pregunta ¿que son los números reales?

1.- Axiomas de la adición:

A1.1 Paratodo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamamos la suma de e .
A1.2 Conmutatividad: para todo .
A1.3 Asociatividad: para todo .
A1.4 Existencia del elemento identidad: Existe un elemento de , denotado por tal que para todo
A1.5 Existencia del elemento inverso: Para cada existe un tal que .
Estos axiomas nos dicen que ( , +) es un grupo abeliano (esdecir que tiene la estructura algebraica de grupo y también tiene la propiedad conmutativa).
Así con estos axiomas se pueden obtener o deducir mas propiedades de los números reales, por ejemplo: "Si a, b, y c están en y a + b = a+ c, entonces b = c" y lo podemos demostrar de la siguiente manera:
-a + (a+b) = -a + (a+c)
(-a + a) + b = (-a + a) + c
0 + b = 0 + c
b = c

Esta es la llamada "leypara la cancelación de la suma".

2- Axiomas de la multiplicación:

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamaremos el producto de e .
A2.2 Conmutatividad: para todo .
A2.3 Asociatividad: para todo .
A2.4 Existencia del elemento identidad: Existe un elemento de , que denotaremos por tal que
A2.5 Existencia del elemento inverso: Para cadatal que no sea cero, existe un tal que .
A2.6 Distributividad: Para x, y, z en x* (y + z) = (x*y) + (x*z)

Estos axiomas (multiplicación) nos dicen que ( , +, *) es un cuerpo.

3.- Axiomas para la relación de orden:

3.1 Para cualquier x perteneciente a solo puede aplicar una de las siguientes posibilidades:
x < 0, x = 0, 0 < x.

3.2 Si "x" y "y" están en , 0 < x, 0 < y...