Numeros reales

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Tema 1: Números reales

Tema 1: Números reales
1. Números naturales. Números enteros
El conjunto de los números naturales es, por definición, N = {1, 2, 3, 4, . . . }. Entre dos naturales consecutivos no hay ningún otro número natural. La ecuación 4x – 12 = 0 tiene solución en N (x = 3), pero la ecuación 2x + 6 = 0 no tiene solución dentrodel conjunto de los número naturales. El conjunto de los números enteros es, por definición, Z = {. . .–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,. . .} La segunda de las ecuaciones anteriores sí tiene solución en Z (x = –3). Sin embargo la ecuación 3x – 4 = 0 no tiene solución dentro del conjunto de los números enteros.

2. Números racionales
a : a, b ∈ Z y b ≠ 0}. b La última de las ecuaciones anteriores sí tienesolución en Q (x = 4/3).

El conjunto de los números racionales es, por definición, Q = {

Recordemos algunas propiedades de las fracciones: • • Equivalencia de fracciones:
a c ⇔ ad = bc. = b d

Si a y b son primos entres sí (es decir, su máximo común divisor es 1) la fracción a se llama irreducible. Si no, es posible obtener la fracción equivalente irreducible b a de dividiendo numerador ydenominador por el máximo común divisor de a y b b (esto es lo que se conoce por “simplificación de fracciones”).

2.1. Operaciones con números racionales • Suma. Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se deja el denominador común. Para sumar fracciones con distinto denominador, primero se transforman dichas fracciones en otras equivalentes con el mismodenominador (que será el mínimo común múltiplo de los denominadores), y después se efectúa la suma como en el caso anterior. Producto.
a c ac ⋅ = b d bd

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La operación resta no es otra cosa que sumar opuestos. La operación división consiste en multiplicar inversos. Hay otra operación más: la potenciación. Hablaremos de todas ellas después, cuando expliquemos las propiedades y estructura delconjunto de los números reales. 2.2. Paso de expresión fraccionaria a decimal y de decimal a fraccionaria Todo número racional puede ser expresado de dos formas: mediante su expresión fraccionaria y mediante su expresión decimal. Si él número racional está dado en forma fraccionaria, basta dividir el numerador entre el denominador para encontrar su expresión decimal. Nos encontraremos con tresposibilidades para la expresión decimal:
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Exacta: tiene un número finito de cifras decimales. Periódica pura: la parte decimal se repite indefinidamente formando un período. Periódica mixta: la parte decimal tiene unas cifras que no se repiten (anteperíodo) seguidas de otras que se repiten indefinidamente(período).

Dada una expresión decimal perteneciente a uno de los tres tipos anteriores, podemos encontrar su expresión fraccionaria (fracción generatriz): • Una expresión decimal exacta se expresa como una fracción cuyo numerador es la expresión decimal sin coma, y cuyo denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Una expresión decimal periódica pura se expresacomo una fracción cuyo numerador es la expresión decimal sin coma, menos su parte entera, y cuyo denominador es el número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. Una expresión decimal periódica mixta se expresa como una fracción cuyo numerador es la expresión decimal sin coma, menos su parte entera y su anteperíodo, y cuyo denominador es el número formado por tantos nueves como cifrastenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

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2.3. Relación de orden en Q Dados dos números racionales a y b, se dice que a es menor que b (a < b) cuando, al representarlos gráficamente en la misma recta, a queda situado a la izquierda de b. Si no realizamos la representación gráfica, podemos ordenar un conjunto de números racionales de la siguiente...