Números Naturales

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}
Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.
Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enterosa+(-b), se define como:
el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como
(-a)(-b)=ab
(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros,con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.
Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }
Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
La suma de dos racionales a/b y c/d se define comoa/b+c/d=(ad+cb)/bd.
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

   (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
De este modo, el conjunto de losracionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:
Dados dosnúmeros racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.
Losnúmeros irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
0.1234567891011121314151617181920........
claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.
Veamos otros ejemplos.

Losnúmeros reales
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades quehemos visto para los conjuntos  e  son heredadas por .
Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .
Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para ,  y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).
















Los números reales son sólo números como:1
12.38
-0.8625
3/4
√2
1998
De hecho:
Casi todos los números que se te ocurran son números reales
Los números reales incluyen:

Los números enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

Los números racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

Los números irracionales (como π, √3, etc.)
Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.
Entonces... ¿qué números NO son reales?...