Números reales

NUMEROS REALES Esquema 1).− Las relaciones de Orden de los Números Reales • Conceptos • Ejemplos • Ejercicios • Gráficos 2).− Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales 3).− Valor Absoluto en los Números Reales 4).− Ecuaciones con Valor Absoluto 5).− La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real 6).− Coordenadas de un Punto en la Recta Real 7).− Distancia entre2 Puntos en la Recta Real 8).− Puntos Medios y Distancias entre Puntos 9).− Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos 10).− Intervalos Reales Desarrollo 1).− Las Relaciones de Orden en los Números Reales • Definición: Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, 1,414 "3 > "2 Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a< b si b está mas a la derecha que a en la recta real. 1

Si a < b, entonces b − a > 0 Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q. Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué) Intervalo abierto (a,b) %% ab Intervalo cerrado [a,b] %% ab Intervalo abierto a la derecha[a,b) %% ab Intervalo abierto a la izquierda (a,b] %% ab

El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b. El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b. Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo(a,b] se expresa por a < x " b. De la recta numérica se puede deducir que: • Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo • Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo. Orden en los números Reales Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos: •a>b •a, < o =) que existen entre ellos. • Ejemplos: Para ordenar "5 y 2"3.Se calcula su diferencia: "5 − 2"3 =2,24 − 2 . 1, 73 = 2,24 − 3,46 = −1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5. Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar. Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; − 1,3; −5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32;"5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas. Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales: −5/3= −1,67 "5/2= 1,12 2

Luego se ordenan los números de mayor a menor: 8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > −1,3 > −1,67 Entonces los números con los valores originales quedaríanordenados así: 8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > −1,3 > −5/3 Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo 0, y > 0) Si x < 0 entonces f(x) = − x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = − x Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla: x y −1 1 −2 2La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x 0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas. 4).− Ecuaciones con Valor Absoluto A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5. De acuerdocon las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones: • 3x+2=5 3x= 3 x=1 4

• 3x+2=−5 3x=−7 x=−7/3 La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en la ecuación original, se debe cumplir la igualdad. • Para x=1 |3x+2|=5 |3 . 1+2|=5 |3 +2|=5 |5|=5 • Para x=−7/3 |3x+2|=5 |3 . (−7/3)+2|=5 |−7+2|=5 |−5|=5 En resumen, al resolver una...