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PRACTICA 1

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Observando la figura y teniendo en cuenta los datos que se adjuntan hallar:
1. Ecuación diferencial del sistema
2. Función de transferencia.
3. Identificar y hallar el valor de la constante de tiempo. ¿Qué significado tiene?
4. La respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario
5. El tiempo de establecimiento (ts) teniendo en cuenta que setrata de un sistema de primer orden.
6. Calcular el valor de la respuesta para un tiempo igual a la constante de tiempo.
7. Realizar la simulación en módulo Simulink de Matlab
• Determinar la constante de tiempo
• Determinar el tiempo de establecimiento
8. Montar un circuito en el laboratorio y medir con el osciloscopio la constante de tiempo y el tiempo deestablecimiento.
9. Comparar resultados y razonar discrepancias.

1. Introducción

La práctica consta de tres partes bien diferenciadas:

• Base teórica
• Simulación en el ordenador
• Parte real

El objetivo es estudiar el comportamiento de un sistema de primer orden ante un escalón unitario hallando principalmente su constante de tiempo y el tiempo de establecimiento.
Una vezrealizadas las tres partes mencionadas habrá que compararlas, justificando los resultados y las discrepancias.

2. Base teórica

Los sistemas patrón que se estudian son los de 1er y 2º orden ya que son los sistemas básicos a partir de los cuales pueden realizarse los demás.
Esta práctica se realizará con un sistema de 1er orden (en el denominador orden 1) cuya función de transferencia(H(s)) tiene la siguiente forma:
[pic]
Siendo [pic] la constante de tiempo de un sistema de primer orden.
Constante de tiempo [pic]: Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63’2% de su valor final, representando la velocidad del sistema. Si la constante de tiempo es pequeña implica que el sistema es rápido y viceversa si la constante de tiempo es grande el sistema es lento.Tiempo de establecimiento ts: Se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance y se mantenga en un rango alrededor del valor final establecido en ( 5%.
En las gráficas siguientes podemos ver estas definiciones:

Una vez definido las incógnitas establecidas en la práctica pasamos a identificar el sistema.

3. Resultados

Voy a hallar la ecuación diferencial delsistema. Para ello observo el circuito a estudiar y planteo las ecuaciones que lo rigen.

[pic] [1]
Pero sé la expresión de la intensidad (i)
[pic] [2]
Sustituyendo la ecuación [2] en la ecuación [1] obtenemos la ecuación diferencial del sistema buscado:
[pic] [3]

Ahora hallaremos la función de transferencia haciendo la transformada de Laplace a la ecuación obtenidaanteriormente y considerando condiciones iniciales del sistema, es decir, que nuestro circuito está desconectado.
[pic]
[pic] [4]
Una vez obtenido la función de transferencia, podemos identificar sin problemas la constante de tiempo que en nuestro caso es :
[pic] [5]
Sustituyendo los valores dados como datos en el inicio del problema obtendremos la función de transferenciade nuestro sistema;
[pic]

[pic]que es la función de transferencia de nuestro sistema
Y además sabemos también el valor de la constante de tiempo [5], simplemente sustituyendo los valores dados como datos en el inicio del problema.

[pic]
Por lo que nuestro sistema quedaría de la forma siguiente:

Seguimos realizando las cuestiones y ya estamos en disposición de hallar larespuesta del sistema ante un escalón unitario.
Escalón unitario

Entonces la respuesta será [pic]
Y sustituimos los valores correspondientes a cada una de las incógnitas obteniendo:

[pic] y descomponemos en fracciones simples
[pic] Resolvemos los residuos obteniendo lo siguiente:
[pic] s=0
[pic] s=-1/2

Con lo que tengo:
[pic] que es la transformada...