operaciones con funciones

Operaciones con funciones
 
Función Suma
 
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por
 
( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)
 
 
Ejemplo 1    Si f (x) = 2x + 1   y  h (x) = |x|  entonces:
 
    ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1     
 
       ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7
 
Función Diferencia
 
Si f(x) y g(x) son dosfunciones, entonces la función diferencia esta dada por
 
( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
 
 
 
Ejemplo 2      Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x2    entonces:
 
    ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 =  1 + 2x - x2
 
    ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2
 
Función Producto
 
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto estadada por
 
( f g ) ( x ) = f (x) g (x)
 
 
 
Ejemplo 3    Si  g (x) = x2   y  h (x) = x - 2  entonces:
 
    ( h • g )(x) = h (x) • g (x) =  ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2
 
    ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75
 
 
 
 
                                                         Función Cociente
 
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la funcióncociente esta dada por
 

 
 
Ejemplo 4   Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x 2    entonces:
 
1.      

Operaciones con funciones
Suma de funciones
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Dominio
D(f + g) = D f  D g




D f =  − {2}D g = [0, ∞)
D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)


Propiedades
Asociativa:
f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)
Conmutativa:
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
Elemento neutro:
Lafunción constante: f(x) = 0.
Elemento simétrico:
La función opuesta: −f(x).


Resta de funciones
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
Dominio
D(f − g) = D f  D g




D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)


Producto de funciones
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
Dominio
D(f · g) = D f  D g




D(f + g) = [0, 2)  (2, ∞)


Propiedades
Asociativa:
f(x) · [g(x) · h(x)] = [f(x) · g(x)] · h(x)
Conmutativa:f(x) · g(x) = g(x) · f(x)
Elemento neutro:
La función constante: f(x) = 1.
Distributiva:
f(x) · [g(x) + h(x)] = [f(x) · g(x)] + [f(x) · h(x)]


División de funciones
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
Dominio
D(f + g) =(D f  D g) − {x   / g(x) = 0}




D f =  − {2}D g = [0, ∞) g(x) ≠ 0
D(f + g) = (0, 2)  (2, ∞)
OPERACIONES CON FUNCIONES
 
Suma de funciones
Sean f  y g dos funciones realesde variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
 
                                          
 
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
 
                                          
 Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
 
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
 
                                          
 
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas enun mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
 
                                                
 
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
 
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por
                                              
 
 
Ejercicio:
 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.
 
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
 
Resolución:
 
 La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.
 
 (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
 
Obsérvese...