Optimización

Optimización
Problemas de optimización
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras
palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo oel valor máximo de una función de una
variable.
Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como
función de otra de las variables relacionadas enel problema.
En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan
igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de unavariable que se
quiere minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
 ¿Qué se solicita en el problema?
 ¿Qué restricciones aparecen en elproblema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada
o maximizada.
La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos)una ecuación que será auxiliar
para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.
Ejemplo 10.1.1 Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener unvolumen de 50 cm3.
Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado.
H La siguiente figura representa la caja:
Volumen de la caja, según la figura:
VD x2y & V D 50 )
) 50 D x2y; esta igualdad relaciona las variables del problema.
De esta ecuación podemos obtener y como función de x o viceversa, despejando la variable elegida.
El área de la cajasin tapa:
A D x2 C 4xy :
Ésta es la cantidad de material que deseamos que sea mínima; vemos que es una función de dos
variables.
Despejamos y de la restricción dada, esto es, de la fórmula delvolumen:
y D
50
x2
:
Sustituimos en el área y obtenemos una función de una sola variable:
A.x/ D x2 C 4x

50
x2

D x2 C
200
x D x2 C 200x􀀀1 :
Derivando:
A0.x/ D 2x 􀀀 200x􀀀2 D 2x 􀀀...