Optimizacion dinamica
Páginas: 6 (1300 palabras)
Publicado: 5 de abril de 2011
PRESENTACIÓN
El presente trabajo es exclusivamente del tema de optimización dinámica llamado “cálculo de variaciones”, el cual fue de gran importancia para mejorar y reforzar nuestros previos conocimientos teóricos, a través del desarrollo de los distintos ejercicios.
TRABAJO ENCARGADO
PARTE I
Para cada uno de los ejercicios se pide:
a) Hallar la trayectoria Óptima de estado
b)Establecer la naturaleza del funcional objetivo (Es decir, verificar si el problema debe maximizarse o minimizarse)
c) Hallar el valor óptimo del funcional e intente una explicación.
d) Represente de manera grafica la solución al ejercicio.
a) Hallar la trayectoria optima de estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Ademas de (1) seobtiene:
(3) y (5) en (2)
b) No se puede establecer la naturaleza del ejercicio, no se sabrá si se puede maximizar o minimizar.
c) Debido a la naturaleza del ejercicio, no es posible determinar el valor del funcional objetivo.
d) Gráfico
En donde la ecuación no depende del tiempo, por lo tanto el gráfico sería:
Gráfico. Trayectoria óptima.
a) Hallar la trayectoria óptimade estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Ademas de (4) se obtiene:
(3) y (5) en (2)
Ya que , decimos que el problema es degenerado, pues no constituye una ecuación diferencial. Vemos que la senda óptima no posee constantes, por lo que sólo cumplirá la condición inicial y terminal de manera casual.
a) Hallar la trayectoriaoptima de estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Integrando:Condiciones inciciales:
Condiciones finales:Por lo tanto:
b) Establecer la naturaleza del funcional objetivo.
Por lo que el problema debe minimizarse, f es cuasi convexo y H es débilmente positiva
c) Hallar el valor optimo del funcional e intente una explicación.
Derivando
d) Gráfico
Gráfico. Trayectoria óptima que minimiza el problema.
4.; ;
a) Hallar la trayectoria óptima
Ecuación de Euler:
(1)
(2)
Condición Inicial:
(3)
Reescribiendo:
(4)
Condición Final:
(5)
Condición de Transversalidad:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Reemplazando (11) en (6):
(11)
Finalmente:
(12)
b) Establecer la naturaleza del funcional objetivo
Condición de Legendre:(13)
Según esta condición necesaria, se debería minimizar.
Condición de Matriz Hessiana:
(14)
La funcional es semi –definida positiva, i. e. cóncava.
c) Hallar el valor óptimo del funcional y explicar.
Valor Óptimo:
ç
El valor óptimo del funcional es , que es el costo mínimo de seguir la mejor trayectoria, en este caso
d) Gráfico
Horizonte temporal
Gráfico.Trayectoria dinámica que minimiza el problema.
5.
a) Hallar la trayectoria óptima
Ecuación de Euler:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Condición Inicial:
(7)
Reescribiendo:
(8)
Condición Final:
(9)
Condición de Transversalidad:
(10)
(11)
(12)
(13)
Reemplazando (11) en (13):
(14)
(15)
De (15):
(16)...
El presente trabajo es exclusivamente del tema de optimización dinámica llamado “cálculo de variaciones”, el cual fue de gran importancia para mejorar y reforzar nuestros previos conocimientos teóricos, a través del desarrollo de los distintos ejercicios.
TRABAJO ENCARGADO
PARTE I
Para cada uno de los ejercicios se pide:
a) Hallar la trayectoria Óptima de estado
b)Establecer la naturaleza del funcional objetivo (Es decir, verificar si el problema debe maximizarse o minimizarse)
c) Hallar el valor óptimo del funcional e intente una explicación.
d) Represente de manera grafica la solución al ejercicio.
a) Hallar la trayectoria optima de estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Ademas de (1) seobtiene:
(3) y (5) en (2)
b) No se puede establecer la naturaleza del ejercicio, no se sabrá si se puede maximizar o minimizar.
c) Debido a la naturaleza del ejercicio, no es posible determinar el valor del funcional objetivo.
d) Gráfico
En donde la ecuación no depende del tiempo, por lo tanto el gráfico sería:
Gráfico. Trayectoria óptima.
a) Hallar la trayectoria óptimade estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Ademas de (4) se obtiene:
(3) y (5) en (2)
Ya que , decimos que el problema es degenerado, pues no constituye una ecuación diferencial. Vemos que la senda óptima no posee constantes, por lo que sólo cumplirá la condición inicial y terminal de manera casual.
a) Hallar la trayectoriaoptima de estado.
Sea la función intermedia:
La ecuación de Euler es de:
De (1) obtenemos:
Integrando:Condiciones inciciales:
Condiciones finales:Por lo tanto:
b) Establecer la naturaleza del funcional objetivo.
Por lo que el problema debe minimizarse, f es cuasi convexo y H es débilmente positiva
c) Hallar el valor optimo del funcional e intente una explicación.
Derivando
d) Gráfico
Gráfico. Trayectoria óptima que minimiza el problema.
4.; ;
a) Hallar la trayectoria óptima
Ecuación de Euler:
(1)
(2)
Condición Inicial:
(3)
Reescribiendo:
(4)
Condición Final:
(5)
Condición de Transversalidad:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Reemplazando (11) en (6):
(11)
Finalmente:
(12)
b) Establecer la naturaleza del funcional objetivo
Condición de Legendre:(13)
Según esta condición necesaria, se debería minimizar.
Condición de Matriz Hessiana:
(14)
La funcional es semi –definida positiva, i. e. cóncava.
c) Hallar el valor óptimo del funcional y explicar.
Valor Óptimo:
ç
El valor óptimo del funcional es , que es el costo mínimo de seguir la mejor trayectoria, en este caso
d) Gráfico
Horizonte temporal
Gráfico.Trayectoria dinámica que minimiza el problema.
5.
a) Hallar la trayectoria óptima
Ecuación de Euler:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Condición Inicial:
(7)
Reescribiendo:
(8)
Condición Final:
(9)
Condición de Transversalidad:
(10)
(11)
(12)
(13)
Reemplazando (11) en (13):
(14)
(15)
De (15):
(16)...
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