Optimizacion

[pic]
[pic]
Las restricciones1, 2 y 3 se dividen cada una en dos de la siguiente manera.

[pic]
Finalmente el número de restricciones finales son las siguientes:

[pic]
Teniendo todas las restricciones, procedemos a hallar la función de Lagrange
[pic]
Las condiciones de estacionariedad de la función de Lagrange son:

[pic]

Las condiciones de factibilidad primal son:

[pic]Las condiciones de complementariedad son:

[pic]
Las condiciones de factibilidad dual son:

[pic]

Para resolver este sistema de igualdades y desigualdades, se consideran los siguientes casos teniendo en cuenta que cada restricción es una ecuación o desigualdad que involucra una sola variable [pic]. Para las ecuaciones que contienen a [pic] intervienen solamente [pic]y [pic],de igual manera, para las ecuaciones que contienen a [pic] intervienen solamente [pic] y [pic]y para las ecuaciones que contienen a [pic] intervienen solamente [pic] y [pic].
Establecido lo anterior, los casos que se evaluarán son:
Caso 1
[pic]

[pic] tenemos que [pic]
[pic] tenemos que [pic], lo cual contradice lo anterior. Por esta razón este caso no se cumple.

Caso 2
[pic]

[pic],tenemos que [pic]
[pic], tenemos que [pic]
[pic], tenemos que [pic]
Estos son los menores valores permitidos para cada flujo, locuaz producirá el valor mínimo de la función a maximizar.
El valor de la función, evaluándola con estos valores es:

[pic]
Caso 3
[pic]

[pic], tenemos que [pic]
[pic], tenemos que [pic]
[pic], tenemos que [pic]

Estos son los mayores valores permitidos paracada flujo, lo cual posiblemente producirá el valor máximo de la función a maximizar.
El valor de la función, evaluándola con estos valores es:

[pic]

Los valores hallados en este caso son constantes y no están en función del flujo total entrante, por tanto examinaremos el tercer caso para ver si este cumple con lo requerido en el enunciado del ejercicio.

Caso 4
[pic]

De lascondiciones de estacionariedad:
[pic], tenemos que [pic](5)
[pic], tenemos que [pic](6)
[pic], tenemos que [pic](7)

Usando (5), (6) y (7) junto con la restricción [pic], podemos expresar [pic], [pic] y [pic] en función de [pic], el cual es el propósito de este ejercicio, por tanto a partir de ahora trabajaremos haciendo uso del caso 4.
Si igualamos las ecuaciones 6 y 7 obtenemos:
[pic]
Despejando[pic]en función de [pic] tenemos:
[pic]
Si igualamos las ecuaciones 5 y 7 obtenemos:
[pic]
Despejando [pic] en función de [pic] hallamos:
[pic]
Luego sustituimos estos valores en la ecuación [pic]
[pic]
[pic], despejando [pic] tenemos
[pic]
Aplicando sustitución regresiva obtendremos los valores de [pic] y [pic] en función de [pic]
[pic]
De igual manera

[pic]

1.Utilizaremos
[pic]
Para hallar lo valores límite de [pic], reemplazando los valores hallados previamente de [pic], [pic] y [pic] en las restricciones.
Usando la restricción para [pic]:
[pic]
Usando la restricción para [pic]:
[pic]
Usando la restricción para [pic]:
[pic]
El límite inferior de [pic]esta establecido por el mayor de los tres límites inferiores.
El límite superior de [pic]estaestablecido por el menor de los tres límites superiores.
La función se maximiza si [pic]

2. Para un valor [pic], reemplazamos este valor en los resultados hallados al final de la solución del numeral 1. Partiendo de la solución del anterior inciso, vemos que este valor se encuentra en el rango de [pic] que permite que la función sea maximizada.
[pic]
Luego el valor de la función conestos valores es:
[pic]
Para verificar la veracidad de lo dicho anteriormente, se tomaran valores para [pic], [pic] y [pic] que sumen 2500; dichos valores se evaluaran en la función y veremos cual función evaluada adquiere mayor valor.
Primer valor
[pic]
Segundo valor
[pic]

Con estos valores cercanos se comprueba que el mayor valor de la función se da cuando:
[pic]

3. Para graficar...