Para La Profesora

Logaritmo
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Logaritmo
Logarithms.svg
Gráfica de Logaritmo
Definición \log_b(x) := \frac {\ln(x)}{\ln(b)} \,\!\,
\scriptstyle \mathrm{con} \; b \ \in \ \mathbb{R}_+\setminus\{ 1\}
Tipo Función real
Descubridor(es) John Napier (1614)
Dominio (0,+\infty)\,
Codominio (-\infty,+\infty)\,
Imagen (-\infty,+\infty)\,
Propiedades Biyectiva
CóncavaEstrictamente creciente
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada \frac{1}{x\ln(b)}\,
Función inversa b^x\,
Límites \lim_{x\to 0^+ \atop b>1}\log_b(x)=-\infty\,
\lim_{x\to+\infty \atop b>1}\log_b(x)=+\infty\,\lim_{x\to 0^+ \atop 0 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución.Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).3

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).
Función inversa
The graphs of two functions.Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.

En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. Demodo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

b^{\log_b(y)} = y

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = bx.4

Las funciones inversas están íntimamenterelacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, logb(x) diverge ainfinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es un función creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente).
Derivada e integral indefinida
A graph of the logarithmfunction and a line touching it in one point.
El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.2 Así, como f(x) = bx es una función continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como laderivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por3 5

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto (x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica quela integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.6 La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:7

\int...