Parabola

UNIDAD V LA PARÁBOLA OBJETIVO PARTICULAR
Al concluir la unidad, el alumno identificará y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola, determinando los distintos parámetros, su ecuación respectiva y viceversa.

Se le llama parábola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, seaniguales. 5.1 ECUACIÓN EN FORMA ORDINARIA O CANÓNICA 5.1.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ, PARAMETRO Y LADO RECTO. (FIG. 1): Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación: • • • VÉRTICE (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.EJE FOCAL (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice. FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. DISTANCIAFOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz. CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco. LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

• • • • •

Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguiente gráfica de unaparábola:

d p

rama de la parabola

ef

V

F

4p = LR

p

rama de la parabola FIG. 1

5.1.2. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE ESTÁ EN EL ORIGEN. La ecuación algebraica que describe a la parábola se encuentra expresada en función de la posición geométrica de los elementos que la conforman, así como de la orientación propia de la misma, resultando en una ecuacióncaracterística de cada caso particular. A efecto de ejemplificar la forma de obtener la ecuación mencionada, se trabaja con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las X y cuyas ramas se abren hacia la derecha. Atendiendo a la definición de la parábola, se sabe que la distancia entre un punto “p” cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco “f” será igual a ladistancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, según se aprecia en la fig 1A.
Y

(-p,y)

D

P (x,y)

(-p,0)

(0,0) V

F (p,0)

X

FIG. 1A

De lo anterior resulta:
_____ _____

PD = PF Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, resulta:
_____

PD = ( x − (− p) ) + ( y − y )
_____

2

2

PD = ( x +p ) 2

y
_____

PF = ( x − p ) + ( y − 0 )
_____

2

2

PF = ( x − p ) 2 + y 2

Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:

( x + p )2 = ( x − p )2 + y 2
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

( x + p) 2 = ( x − p ) 2 + y 2 x 2 + 2 px + p 2 = x 2 − 2 px + p 2 + y 2
x 2 + 2 px + p 2 − x 2 + 2 px − p 2 = y 2

Simplificandotérminos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y 2 = 4 px

(I)

La cual, es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica. Análogamente a la demostración anterior, se puede obtener la ecuación que describe una parábola cuyo vértice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados. (ver sección 5.1.3)

LONGITUD DEL LADO RECTO Procediendo de una manera similar ala empleada para la deducción de la ecuación anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permita calcular la longitud del lado recto: Partiendo de la ecuación:
y 2 = − 4 px

Y sustituyendo x por –p se obtiene:
y 2 = − 4 p(− p)

y2 = 4p2

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros, resulta:

y =± 2p
Por lo que las coordenadas de los extremos del lado recto son (-p,2p) y...