paradojas estadisticas

ARTÍCULOS DE APLICACIÓN

3. ARTÍCULOS DE APLICACIÓN
ALGUNAS PARADOJAS Y CURIOSIDADES ESTADÍSTICAS
Carles M. Cuadras
Universidad de Barcelona
1. Introducción

te maligna, que desconcierta a los usuarios de la Estadística. Se presenta cuando juntamos datos, como
La Estadística observa datos y utiliza el lenguaen el caso que sigue.
je matemático para proporcionar modelos, interpreSupongamos untratamiento contra una enfertar los resultados y tomar decisiones. Como en otras
medad que consiste en un fármaco aplicado a homramas de la Ciencia, la Estadística no está exenta
bres y a mujeres por separado, para seguidamente
de contradicciones, paradojas y curiosidades. Puede
juntar los resultados estadísticos obtenidos. En las
ser bien o mal utilizada, pero en algunos casos sus
tres tablas 2 × 2,exhibidas más abajo, la dependenresultados confunden o son objeto de curiosidad.
cia entre tratamiento y recuperación es significativa.
En este trabajo se exponen algunas paradojas En los dos primeros casos, los resultados son favoy situaciones curiosas, que pueden presentarse en rables al fármaco, pues se recuperan el 46 % de los
probabilidad, regresión y contraste de hipótesis. To- tratadosfrente al 38 % de los no tratados en el cadas ellas tienen cumplida explicación, que se deja a so de hombres, y el 68 % frente al 58 % en el caso
juicio del lector y que se publicará en un próximo de las mujeres. Pero al juntar las frecuencias, nos
boletín.
encontramos que se recuperan el 49 % de los tratados frente al 54 % de los no tratados. El fármaco es
2. La paradoja de juntar datos
un buentratamiento para hombres y para mujeres,
Comenzaremos con un tipo de paradoja bastan- pero no en general. ¿Por qué?

Recuperados
No recuperados

Hombres
Con tratamiento Sin tratamiento
700
80
800
130

Recuperados
No recuperados

Mujeres
Con tratamiento Sin tratamiento
150
400
70
280

Recuperados
No recuperados

Hombres + Mujeres
Con Tratamiento Sin tratamiento
850
480
870
410

3. Una paradoja delp-valor

las son independientes de las variables columnas. El
contraste es significativo si v > χ2α , donde v es el va2
Sea N = (nij ) una tabla de contingencia r × s, lor observado y χα es el valor tabulado para un nivel
con frecuencias nij que combinan r variables filas y de significación α y (r − 1)(s − 1) g.l. Este contraste
s variables columnas. El estadístico V con distribu- es equivalente acalcular el p−valor p = P (V > v)
ción asintótica ji-cuadrado con (r − 1)(s − 1) grados y decidir que hay dependencia si p < α.
de libertad (g.l.), permite decidir si las variables fiPor ejemplo, con α = 0, 05, en la tabla anterior
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del tratamiento a hombres se obtiene v = 5,455 (1
g.l.), p = 0, 019 < α, luego es razonable admitir que
hay dependencia entre tratamiento yrecuperación.
Centrémenos ahora en el grado de significación
p. Bajo la hipótesis nula de independencia, la distribución de p es uniforme en (0, 1). Entonces es fácil
ver que −2 log p sigue una ji-cuadrado con 2 g.l. Por
lo tanto bastaría comprobar si −2 log p es significativo. Por ejemplo, −2 log(0, 019) = 7, 926 > 5, 991,
siendo 5, 991 el valor tabulado para α = 0, 05 y 2
g.l. Los dos criterios sonequivalentes, pero... ¿es un
contraste ji-cuadrado con 1 g.l. o con 2 g.l.?
En general, para una tabla r × s, rechazamos la
hipótesis de independencia si:
a) v > χ2α , donde P (V > χ2α ) = α, con
(r − 1)(s − 1) g.l..
b) −2 log p > χ2α , donde P (χ22 > χ2α ) = α con 2
g.l..
En a) y en b) utilizamos el test ji-cuadrado pero
trabajamos con distintos grados de libertad. Más en
general, todo testji-cuadrado con m g.l., ¿se reduce
a un test ji-cuadrado con 2 g.l.?
Esta aparente paradoja, un poco ingenua, puede
confundir al principio, pero tiene una fácil explicación.
Otra paradoja del p-valor

A un nivel de significación 0, 05 se concluye que
hay diferencias significativas para cada variable.
Sin embargo, no se obtiene lo mismo aplicando
un test con las dos variables conjuntamente. Indicando...