Pendulo invertido

Repaso de Modelos Matem´ ticos de a Sistemas Din´ micos a
Virginia Mazzone

Regulador centr´fugo de Watt ı

Control Autom´ tico 1 a http://iaci.unq.edu.ar/caut1 Automatizacion y Control Industrial ´ Universidad Nacional de Quilmes Marzo 2002

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 1 a

´ndice General I
1 Ejemplos de modelos 1.1 Modelo del retardo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2 Diagrama en bloques ´ 2.1 Funcion transferencia a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Reduccion de un diagrama en bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Repaso de la respuesta din´ mica a ´ 3.1 Respuesta al impulso y al escalon de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 5 5 7 8

1

Ejemplos de modelos

´ Losejemplos que presentamos a continuacion fueron obtenidos de los ejemplos de uno de los Tutoriales de Control de M ATLAB de la Carnagie Mellon (University of Michigan). Antes de estudiar dichos modelos, repasemos las siguientes definiciones: • Un modelo matem´ tico de un sistema din´ mico se define como un conjunto de ecuaa a ´ ciones que representan la din´ mica del sistema con precision o, al menos,bastante a bien. ´ ´ • La funcion transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacion diferencial lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como el cociente-entre la transformada ´ de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposicion de que todas las condiciones iniciales son nulas. Ejemplo 1.1. La Figura 1 muestra un carro con un p´ ndulo invertido,impulsado por una e fuerza F. Determinar las ecuaciones din´ micas del movimiento, y linealizar alrededor del a ´ angulo del p´ ndulo, θ = 0 (en otras palabras supongamos que el p´ ndulo no se mueve m´ s e e a que algunos grados de la vertical).

m, I F

θ

m x

Figura 1: P´ ndulo invertido e Si calculamos la sumatoria de las fuerzas en el diagrama de cuerpos libres, Figura 2, del ´ ´ carroen la direccion horizontal, obtenemos la siguiente ecuacion de movimiento: ¨ ˙ Mx + bx + N = F (1)

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 2 a
P N F

˙ Iθ 2 m, I ˙ bx l mg N ¨ Iθ ¨ x θ

m x ¨ x

P

Figura 2: Diagrama de los dos cuerpos libres del sistema

Si ahora calculamos la sumatoria de las fuerzas del p´ ndulo del diagrama de cuerpos e ´ ´ libres en la direccion horizontal, obtenemosuna ecuacion para N ¨ ˙ ¨ N = m x + mlθ cos θ − mlθ 2 sin θ ´ ´ Si sustituimos (2) en la ecuacion (1), obtenemos la primer ecuacion de este sistema ¨ ˙ ¨ ˙ ( M + m) x + b x + mlθ cos θ − mlθ 2 sin θ = F (3) (2)

´ Para obtener la segunda ecuacion de movimiento, sumemos las fuerzas perpendiculares ´ al p´ ndulo. Resolviendo el sistema a lo largo de este eje obtenemos la siguiente ecuacion e ¨ ¨ Psin θ + N cos θ − mg sin θ = mlθ + m x cos θ (4)

Para deshacernos de los t´ rminos P y N de (4), sumemos los momentos alrededor del e centro del p´ ndulo para obtener e ¨ − Pl sin θ − Nl cos θ = Iθ ´ Combinando (4) y (5), obtenemos la segunda ecuacion din´ mica a ¨ ( I + ml 2 )θ + mgl sin θ = −ml cosθ ¨ (6) (5)

Ahora linealicemos las ecuaciones (3) y (6) alrededor de θ = 0. Si suponemos queel p´ ndulo se mueve unos pocos grados alrededor del 0, podemos aproximar cos θ = 1, e ˙ sin θ θ y θ 2 0. Por lo que las dos ecuaciones linealizadas son ¨ ¨ −ml x =( I + ml 2 )θ + mglθ ¨ ¨ ˙ F =( M + m) x + b x + mlθ Ejemplo 1.2. La figura 3 muestra dos tanques en cascada los que queremos modelar. ´ La altura del tanque 1, h1 la podemos describir con la ecuacion dh1 1 = ( f i − f 12 ), dt A lomismo para h2 dh2 1 = ( f 12 − f e ) dt A (7) (8)

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 3 a
bomba 1 fi

h1

h2 f 12 bomba2 fe

Figura 3: Diagrama de dos tachos en cascada

El caudal entre los dos tanques podemos aproximarlo por la velocidad de ca´da libre ı por la diferencia de altura entre los dos tanques. f 12 = 2g(h1 − h2 )

Si medimos la altura de los tanques en % (donde 0% es vac´o y...