Modelo Pendulo invertido

Péndulo Invertido
José Roberto Herrera González
Modelado y Simulación de Sistemas
Ingeniería Mecatrónica
Dr. Roger Miranda Colorado
Marzo, 2014

Contenido
• Objetivos
• Desarrollo TeóricoObjetivos
Obtener las ecuaciones dinámicas que describen al sistema
(ver figura 1) para de manera matricial dar solución
utilizando los métodos aprendidos en clase. Se obtendrá la
función de transferencia asícomo los valores y vectores
propios del sistema.

Péndulo invertido

Figura 1: Péndulo Invertido

• Primeramente se obtienen las ecuaciones
dinámicas del péndulo invertido
𝑥
𝑞1
𝑞=
=
𝜃
𝑞2
𝑥1 = 𝑞1𝑉1
𝑉2

𝑥2 = 𝑞1 + 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2
𝑦2 = −𝑞2 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2

𝑥1 = 𝑞1

𝑥2 = 𝑞1 + 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2

𝑦2 = 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2

= 𝑞12
2 = 𝑞 2 + 2𝑞 𝑞 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞 +𝑞 2 𝐿2
1 2
2
1
2

2

1
𝑇 = 𝑚1 𝑞12 + 𝑚2 𝑞12 + 2𝑞1 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 +(𝑚2 𝐿2 + 𝐼)𝑞22
2
𝑈 = 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞21
ℒ = 𝑚1 𝑞12 + 𝑚2 𝑞12 + 2𝑞1 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 +(𝑚2 𝐿2 + 𝐼)𝑞22
2

𝜕ℒ
=0
𝜕𝑞1
𝜕ℒ
= m1 + m2 𝑞1 + 𝑚2 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2
𝜕𝑞1
d 𝜕ℒ
= m1 + m2 𝑞1 + 𝑚2 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 − 𝑚2 𝑞22 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2
dt 𝜕𝑞1
𝜕ℒ
= −𝑚2 𝑞1 𝑞2 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2 − 𝑚2 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2
𝜕𝑞2
𝜕ℒ= 𝑚2 𝑞1 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 + (𝑚2 𝑟 2 + 𝐼)𝑞2
𝜕𝑞2
d 𝜕ℒ
= 𝑚2 𝑞1 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞2 − 𝑚2 𝑞1 𝑞2 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞2 + (𝑚2 𝑟 2 + 𝐼)𝑞2
dt 𝜕𝑞2

− 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2

m1 + m2 𝑞1 + 𝑚2 𝑞2 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 − 𝑚2 𝑞22 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2 = F

𝑚2 𝑞1 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑞2 + (𝑚2 𝐿2 + 𝐼)𝑞2 + 𝑚2 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝑞2= 0

Linearizando las ecuaciones mediante series de taylor aproximando el ángulo a 0
grados obtenemos las siguientes ecuaciones:
m1 + m2 𝑞1 + 𝑚2 𝑞2 = F

𝑚2 𝑞1 + (𝑚2 𝐿2 + 𝐼)𝑞2 + 𝑚2 𝑔𝐿𝑞2 = 0
(𝑚1 + 𝑚2)
𝑚2 𝐿
𝑞1
0
𝐹
−
=
𝑚2 𝑔𝐿𝑞2
0
𝑚2 𝐿
(𝑚2 𝐿2 + 𝐼) 𝑞2
𝑞1
=
𝑞2

𝑚1 + 𝑚2
𝑚2 𝐿

𝑚2 𝐿
(𝑚2 𝐿2 + 𝐼)

−1

𝐹
𝑚2 𝑔𝐿𝑞2

1
𝛼𝛽−𝛾2

𝑚1 + 𝑚2 = 𝛼
𝑚2 𝐿 = 𝛾
𝑚2 𝐿2 + 𝐼 = 𝛽
𝛽
𝑞=∆
−𝛾

=∆

𝑚2 𝑔𝐿 = 𝛿

∆𝛽𝐹 − ∆𝛾𝛿𝑥3
−𝛾 𝐹
=
𝛼 𝛿𝑥3−∆𝛾𝐹 + ∆𝛼𝛿𝑥3

𝑥=

𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4

0
𝑥= 0
0
0
𝑦=

𝑞1
𝑞
= 1
𝑞2
𝑞2

𝑥=

𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4

𝑥2
∆𝛽𝐹 − ∆𝛾𝛿𝑥3
=
𝑥4
−∆𝛾𝐹 + ∆𝛼𝛿𝑥3

0
0
0
1
0 −∆𝛾𝛿 0 𝑥 + ∆𝛽 𝐹
0
0
0
1
−∆𝛾
0 ∆𝛼𝛿 0
1 0 0
0 0 1

0
𝑥 + 0𝑢
0

𝑞1
𝑞1
= 𝑞
2
𝑞2

𝜆𝐼 − 𝐴 =0
Considerando los siguientes valores de constantes tenemos que:
𝑚1 = 3𝑘𝑔 ; 𝑚2 = 2𝑘𝑔 ; 𝑙 = 0.5𝑚 ; 𝐼 = 4 ; 𝑔 = 9.81𝑚/𝑠 2
98
98
∆𝛾𝛿 =
; ∆𝛼𝛿 =
215
43
0
0
𝜆 −1
98/215 0
0 𝜆
det
𝜆
−1
0 0
0 0...