Permutaciones

1.2.2. Permutaciones (distinguibles y circulares)

Permutaciones


Permutaciones (u ordenaciones) con repetición

Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORnr ó nORr.
|Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?|
|Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r=2 y n=4. |
|Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16. |


En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones uordenaciones con repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n r
Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pnr ó nPr.
|Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?|
|Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total. |


En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr = [pic]
Permutación: Conjunto ordenado de n elementos.
Notación: Pn; Pn, n; An, n
Permutación de 5 elementos
P5 = 5! Por lo que:
Pn =n!
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Ejemplo:
Para el conjunto {a, b, c} existen las siguientes permutaciones:
Solución:
Abc, acb, bca, bac, cab, cba = 6
P3 = 3! = 6
Ejemplo:
En una asamblea de accionistas, hay 6 personas que han solicitado hacer uso de la palabra ¿En cuántas órdenes diferentes pueden hablar, si es que no se ha establecido un orden de prioridades?
Solución:
P6 = 6! =720
Ejemplo:
En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir?
Solución:

A B C D E F

P4 = 4! = 24 formas diferentes
Cuando se toman parte de los elementos delconjunto se tiene:
 
Pn,r = [pic]
  Ejemplo:
Si n = 5 y r = 3
  P5,3 = [pic]
  Ejemplo:
Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas, si todos los candidatos son igualmente eficientes, ¿De cuántas maneras se puede efectuar la asignación?
  Solución:
P7,3 = [pic]

PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementosque constituyen dicho arreglo.

 
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.
 
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.
 
b) Elmaestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
 
Solución:
a)      Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadasanteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las...