Permutaciones

Permutaciones
La regla para la multiplicación de opciones y su generalización a menudo se usa cuando se hacen varias selecciones desde uno y el mismo conjunto.
Ejemplo:
Si veinte pinturas participan en una exposición de arte, ¿de cuantas maneras distintas los jueces pueden otorgar un primer y un segundo premio?
Solución:
Ya que se puede otorgar el primer premio de m=20 maneras y el segundopremio se debe otorgar a una de las otras n=19 pinturas, hay un total de 20 * 19=380 maneras en que pueden otorgas los dos premios.
En general, si se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos distitintos, cualquier arreglo (orden) de estos objetos se conoce como una permutación. Por ejemplo 4 1 2 3 es una permutación de los primeros cuatro enteros positivos; Maine, Vermont yConnecticut es una permutación de tres de los seis estados de Nueva Inglaterra; y
Medias Rojas Tigres Indios Orioles
Azulejos Medias Rojas Yankees Tigres
Son dos permutaciones distintas (ordenes) de cuatro de los siete equipos de beisbol.
Ejemplo
Determine el numero de permutaciones diferentes de dos de las cinco vocales a, e i, o, uy aga una lista de todas estas.
Solución
Dado que m=5 y n=4, hay 5*4=20 permutaciones distintas y estas son:
ae ai ao au ei eo eu io iu ou
ea ia oa ua ie oe ue oi ui uo
Seria útil contar con una formula para el numero total de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos, tales como los siete equipos de beisbol. Observe que la primera selección se hace apartir del conjunto total de n objetos, la segunda selección se hace entre n-1 objetos que restan después de haber hecho la primera selección. La tercera selección se hace de n-2 objetos que restan después de que se han hecho las dos primeras selecciones,… y la r(esima) selección, que a su vez es la final, se hace de los n-(r-1)=n-r+1 objetos después de que se han hecho las r-1 selecciones. Portanto, la aplicación directa de la regla generalizada de la multiplicación de opciones de cómo resultado que el numero total de permutaciones de objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distitntos, que designaremos como nPr, será
n(n-1)(n-2)….(n-r+1)
ya que los productos de enteros consecutivos tienen lugar en muchos problemas relacionados con las permutaciones y otras clases dearreglos o selecciones especiales es conveniente presentar aquí la notificación factorial. En esta notación, el producto de todos los enteros positivo n se conoce como “n factorial” y se expresa como n!. asi
1!=1
2!=2*1=2
3!=3*2*1=6
4!=4*3*2*1=24
5!=5*4*3*2*1=120
6!=6*5*4*3*2*1=720
y en general, n!=n(n-1)(n-2)*…..*3*2*1. Del mismo modo, para hacer que varias formulas sean mas aplicablesgeneralmente, determinamos que por definición 0!=1.
Las notaciones factoriales se incrementan con tanta rapidez que algunas personas han sostenido que el signo de admiración indica sorpresa. El valor de 10! Excede tres millones y 70! Sobrepasa el limite de memoria de la mayoría de calculadoras de bolsillo.
Para expresar la formula de nPr en términos de factoriales, expresamos, por ejemplo, que12*11*10!=12!, 9*8*7*6!=9!y 37*36*35*34*33!=37!. De modo similar,
nPr*(n-r)!=n(n-1)(n-2)*…..*(n-r+1)(n-r)
de manera que nPr=n!/(n-r)!
Ejemplo
Encuentre el numero de permutaciones de cuatro objetos seleccionados de un conjunto de 12 objetos distintos (digamos, el numero de maneras en que 4 de los 12 equipos de baloncesto se pueden clasificaren primero, segundo, tercero y cuarto lugar por un equipode entrenadores).
Solución
Para n=12 y r=4, la primera formula da como resultado
12P4=12*11*10*9=11880
Y la segunda formula da como resultado
12P4=12!/(12-4)!=12!/8!=12*11*10*9*8!/8!=11880
Esencialmente, el trabajo es el mismo, pero la segunda formula implica algunos pasos adicionales.
Para encontrar la formula para el numero de permutaciones de n objetos distitntos tomadas en conjunto,...