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Capitulo IV
Matemática IV (735)
Objetivo 2. Aplicar el concepto de derivada parcial y total de una función de
varias variables en la resolución de problemas.

Comentarios
Antes de comenzar esta guía quiero hacer varias aclaratorias sobre derivada de
funciones de varias variables (FVV), ya que tendemos a confundir conceptos de
diferenciabilidad con derivabilidad, así como precisar larelación existente entre ellas.
Grosso modo una función es derivable cuando existen las derivadas de la misma,
y recordando que las derivadas se definen por un límite, pues éste límite debe existir
para que la función posea derivada.
Por otra parte una función es diferenciable cuando el siguiente límite genera
inevitablemente una forma indeterminada

0
y al eliminar dicha forma indeterminada el0

límite da CERO. El límite en cuestión es:
funcion − ( plano tangente )

lim

( x , y ) →( x0 , y0 ) distancia

entre ( x, y ) y ( x0 , y0 )

=0

Analicemos algunos ejemplos:
a) Dada la función f : U ⊂ ℝ 2 → ℝ , definida por:
 x− y
, si 2 x + 3 y ≠ 0

f ( x, y ) =  2 x + 3 y
0,
si 2 x + 3 y = 0


• Estudiar la continuidad
• Determinar si las derivadas parciales deprimer orden están definidas en ( 0, 0 )
• En concordancia con la respuesta del apartado inmediato anterior, establecer si
f es diferenciable en ( 0, 0 ) .

RESOLUCIÓN
• En este caso se nos pide si la función es continua, recordando la condición para
que una función f ( x, y ) sea continua en un punto ( x0 , y0 ) :
f ( x0 , y0 ) =

lim

( x , y )→( x0 , y0 )

f ( x, y )

Es decir,deben existir tanto f ( x0 , y0 ) , como

lim

( x , y )→( x0 , y0 )

f ( x, y ) además de ser

iguales claro está.
Procedamos por límites iterados para observar si el siguiente límite existe:

x− y
( x , y )→( 0,0 ) 2 x + 3 y
lim

Aplicando límites iterados se tiene:


 x− y
 = lim  x − 0  = lim  x  = lim x = 1
lim 
 
 x →0  2 x + 3 ( 0 )  x →0  2 x  x →0 2 x2


x →0 2 x + 3 y




y = 0



 x− y
 = lim  0 − y  = lim  − y  = lim − y = −1
lim 
 y →0  2 ( 0 ) + 3 y  y →0  3 y  y →0 3 y


y →0 2 x + 3 y
3






x = 0


Como los limites iterados son diferentes, el límite no existe y por ende la función
NO ES CONTINUA EN el origen de coordenadas.

• Determinemos las primeras derivadasparciales en el punto

( 0, 0 ) ,

esto lo

haremos utilizando la definición de límite, porque si derivamos la función dada
por tabla y evaluamos en el origen, obtendríamos cero sobre cero que es una
forma indeterminada y por ende no tendríamos información del valor de las
primeras derivadas parciales.
f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 )
f ( 0 + h, 0 ) − f ( 0, 0 )
f ( h, 0 ) − f ( 0, 0 )
∂f
=f x = lim
= lim
= lim
h →0
h →0
h →0
∂x
h
h
h

Como f ( x, y ) =

lim
h →0

x− y
y f ( 0, 0 ) = 0 , según la función dada, se tiene:
2x + 3 y

f ( h, 0 ) − f ( 0, 0 )

= lim
h →0

h

h−0
−0
2h + 3 ( 0 )
h

h
−0
1 −∞, si h < 0
2h
= lim
= lim
=
h →0
h →0 2h
h
+∞, si h > 0

Para la derivada con respecto a ye, se tiene:
f ( x0 , y0 + h ) − f ( x0 , y0 )f ( 0, 0 + h ) − f ( 0, 0 )
f ( 0, h ) − f ( 0, 0 )
∂f
= f y = lim
= lim
= lim
h →0
h →0
h →0
∂y
h
h
h

Como f ( x, y ) =

lim
h →0

x− y
y f ( 0, 0 ) = 0 , según la función dada, se tiene:
2x + 3 y

f ( 0, h ) − f ( 0, 0 )
h

= lim
h →0

0−h
−0
2 ( 0 ) + 3h
h

h
1 −∞, si h > 0
3h
= lim
= lim −
=
h →0
h → 0 3h
h
 +∞, si h < 0
−

Como los límitesno existen, las primeras derivadas parciales no están definidas
en el origen.
• ¿Es diferenciable en el origen? NO, porque la existencia de las primeras
derivadas es una CONDICIÓN NECESARIA para concluir que una función es
diferenciable en un punto. Sin embargo, el hecho que sea derivable, es decir, que
existan las primeras derivadas parciales, no es CONDICIÓN SUFICIENTE para
garantizar que...