Pisicion relativa de dos rectas

Posición relativa de dos rectas
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Dos rectas del plano pueden ocupar una de las tres posiciones siguientes:
* Secantes: Se cortan en un punto.
* Paralelas: No se cortan.
* Coincidentes: Tienen infinitos puntos en común, son la misma recta.
Para determinar la posición relativa de dos rectas podemos recurrir a la resolución del sistemaformado por las dos ecuaciones.
Dependiendo del número de soluciones del sistema tendremos:
* 1 solución: Las rectas son secantes.
* 0 soluciones: Las rectas son paralelas.
* Infinitas soluciones: Las rectas son coincidentes.
También se puede recurrir a comparar las pendientes y las ordenadas en el origen de cada recta:
* Distintas pendientes: Las rectas son secantes.
* Igualpendiente y distinta ordenada en el origen: Las rectas son paralelas.
* Igual pendiente e igual ordenada en el origen: Las rectas son coincidentes.

Distancia de un punto a una recta
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y Dcomo la distancia mínima entre A y un punto M de D.

* Para recta definida por su ecuación reducida y siendo A un punto de la forma A = (xA,yA)

Obsérvese que
Demostración
Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en la proyección ortogonal de A sobre D, es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de (D),entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la hipotenusa AB es más larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'.

Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera de calcular esta distancia, es decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamenteaproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortogonales - en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: ; y

Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vectorperpendicular podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma , que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que el producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:

Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así:

En conclusión: La distancia entre M y (D) es:

Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.
* En elcaso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:
D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego, sabiendo que el vector es unitario:

Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo y b = 0. Como , se obtiene:
* En el caso deuna recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:

Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.
Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio tridimensional: Si la ecuación del plano es ; y el punto es , entonces:

Lo anterior se generaliza a...