Plan de estudios

laberintos e infinitos

La Verdad Matem´tica. a
Jacobo Asse Day´n. a Egresado de la carrera de Matem´ticas Aplicadas del ITAM a Puede parecer extra˜o hablar de la “evoluci´n de la verdad”, pues suele pensarse que lo n o verdadero es permanente e invariante. Sin embargo, una breve revisi´n hist´rica revela que o o buena parte de lo que ha sido considerado como verdadero (incluso m´s all´ de todaduda), a a ha resultado ser falso, o al menos, es actualmente considerado como falso. De hecho, no es s´lo el conjunto de hechos considerados como verdaderos el que ha cambiado, sino que los o criterios mismos para calificar algo como verdadero han cambiado tambi´n, provocando un e serio cuestionamiento del concepto mismo de verdad que, a la luz de los hechos hist´ricos, o queda como un atributosubjetivo y temporal. A tal grado ha sido admitido este car´cter a temporal de la verdad, que los m´s prominentes fil´sofos de la ciencia se sit´an entre la a o u afirmaci´n de que la verdad es algo inalcanzable, y que s´lo se puede hablar de teor´ que o o ıas a´n no han sido falsadas (Karl Popper), hasta la aseveraci´n categ´rica de que la verdad u o o simplemente no existe (Paul Feyerabend). As´ enel entorno cient´ ı, ıfico actual, m´s que hablar a de verdades, se habla de teor´ conjeturales que est´n ligadas a un cierto contexto desde el ıas a cual se les considera. Sin embargo, existe un campo de conocimiento que ha pretendido escapar a este escepticismo: el de la matem´tica. El conocimiento matem´tico ha sido considerado, desde sus inicios, como a a un conocimiento seguro, absoluto yeterno. Casi cualquier persona estar´ de acuerdo en que, a pase lo que pase, dos m´s dos son, y siempre ser´n, cuatro. Pero, cabe preguntarse, ¿qu´ tiene a a e el conocimiento matem´tico que nos infunde esta seguridad? ¿Cu´l es el mecanismo que a a nos garantiza que un enunciado matem´tico es verdadero? ¿En qu´ difiere el conocimiento a e matem´tico del propio del resto de las disciplinas? Larespuesta natural es apelar al rigor a matem´tico y su principal instrumento la demostraci´n, como gran afianzadora de la verdad a o matem´tica. Sin embargo, ¿qu´ es exactamente el rigor matem´tico? ¿D´nde est´ definido? a e a o a ¿C´mo se verifica? De nuevo es preciso voltear hacia la historia para darnos cuenta de que las o respuestas a estas preguntas no son en absoluto simples, ni las respuestasofrecidas constantes a lo largo de la historia. Ve´moslo. a

A grandes rasgos, la matem´tica ha pasado por tres a etapas principales: la primera es la etapa de la matem´tica cl´sica, que comenzara en la antigua Grecia a a y que alcanzara su m´xima expresi´n en los trece lia o bros de Los Elementos (320 a.C. aproximadamente) de Euclides.

3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164 22

Aterrizando ideas En estos libros, Euclides parte de veintitr´s definiciones, cinco nociones comunes y cinco e intuiciones geom´tricas consideradas por ´l como evidentes (llamadas postulados), a partir e e de las cuales logra derivar todos los teoremas conocidos por los matem´ticos hasta entonces. a Esta forma de hacer matem´ticas evolucionar´ a lo que ahora es conocido como elm´todo a ıa e axiom´tico y fue completamente novedosa para la ´poca, pues, previo a Los Elementos, la a e matem´tica estaba constituida por una serie de t´cnicas utiles sin ninguna unidad l´gica a e ´ o subyacente. As´ se puede decir que Euclides es el inventor del rigor matem´tico [1], pues ı, a proporciona un criterio para determinar si un enunciado matem´tico es verdadero o falso: a unenunciado es verdadero si puede ser derivado partiendo de los axiomas, que en el caso de Euclides, consist´ en sus intuiciones geom´tricas evidentes. ıan e

Sin embargo, no todo era perfecci´n en el sistema de o Euclides: su quinto postulado, tambi´n conocido coe mo “el postulado de las paralelas”, que esencialmente afirma que dos rectas paralelas nunca se cruzan, no parec´ tan evidente como los otros...