Plano tangente

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Gradiente, Derivada Direccional y Plano Tangente.
Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a www.cidse.itcr.ac.cr

Pr´ctica 4 a

o 1. Para cada una de las superficies cuya ecuaci´n se da, determine a.) La raz´n de cambio de z en el punto P dado y en la direcci´n − indicada. o o → u b.) El valor de la m´xima y de la m´ a ınima raz´n de cambio de zen el punto P . o c.) La direcci´n de esa m´xima o m´ o a ınima raz´n de cambio. o 1) z = x2 + 2xy; 2) z = P = (3, 1), u= 3 1 , 2 2 u = (2, 1) u = (3, 4, −12)

1 log x2 + y 2 ; 2

P = (2, 1),

3) w = xy + yz + zx;

P = (3, 4, −12),

2. Considere la superficie S definida por la ecuaci´n 3x2 y 2 − 6yz = z 2 donde z es funci´n de x , y . o o a) Si P = (1, −2, c) es un punto de S, calcule c .→ b) Determine la derivada direccional de f en x = 1 , y = −2 en la direcci´n del vector − , donde o u − = (2, −2) . → u c) Calcule la ecuaci´n cartesiana del plano tangente a S en P. o Ayuda: en este ejercicio, la derivada direccional requiere el gradiente tras que el plano tangente requiere G = (Gx (P ), Gy (P ), Gz (P )). z(P ) = (zx (P ), zy (P )) mien-

→ 3. Hallar los vectores unitarios −para los cuales la derivada direccional de z = x2 + 3y + 1 se anula u → en el punto P = (1, 1) siguiendo la direcci´n de − . o u 4. Sea S una superficie de ecuaci´n 3z 2 +2x+3y = 24 , con z > 0 . Determine Du z(P ) donde P = (3, 2) o → y − es cualquier vector perpendicular a z(P ) . u 5. Considere la superficie S de ecuaci´n 3x2 − y 2 + z − 12 = 0 , P = (−2, −1, 1) un punto de S . Sean o A = (1, 3) yB = (−4, 5) . Determine

2 www.cidse.itcr.ac.cr a) La derivada direccional de z en (−2, −1) en la direcci´n del vector que va desde A hasta B . o → b) Los vectores unitarios − = (a, b) tales que la derivada direccional de z en (−2, −1) en la u − , sea igual a 2 . → direcci´n de u o → c) Los vectores unitarios − = (a, b) tales que la derivada direccional de z en (−2, −1) y siguiendo u − , seam´xima. → la direcci´n de u o a x2 y − yz − exyz = 0 define a z como funci´n impl´ o ıcita de x , y . Considere el punto 2 P = (1, 2, 0) de la superficie definida por la ecuaci´n anterior. o

6. La ecuaci´n o

o a) Calcule la derivada direccional de z en (1, 2) y en la direcci´n de un vector normal a la curva 2 + 2y 2 = 4 en el punto Q = (2, 0) de esta superficie. de ecuaci´n x o b) Determine ladirecci´n en que la derivada direccional de z en (1, 2) es m´xima y determine este o a valor m´ximo. a o c) Calcule la ecuaci´n cartesiana del plano tangente a S en P. d ) Verifique que el punto P pertenece tambi´n a la superficie S , de ecuaci´n 32z−8x2 −y 2 +12 = 0. e o Calcule la ecuaci´n cartesiana del plano tangente a S en P. o 7. En cierta monta˜a, la altura z , sobre el nivel del mar en la que seencuentra un alpinista, viene dada n por z = 2000 − 2x2 − 4y 2 (en metros).Un alpinista se encuentra en un punto de referencia A , donde A = (−20, 5, 1100) . Sean P = (1, 2) y Q = (1, −1) dos puntos en el plano xy .

o a) Determine la raz´n de cambio de z (derivada direccional) si el alpinista se mueve desde el punto A , siguiendo la trayectoria del vector que va del punto P al punto Q . b)¿Qu´ direcci´n debe seguir el alpinista para que la raz´n de cambio sea m´xima y de cu´nto es e o o a a esta raz´n?. o y2 calculada en cualquier x 2 + y 2 = 1 a lo largo (en la direcci´n) de la normal de la misma, es igual a cero. punto de la elipse 2x o Ayuda: podemos ver la curva C : 2x2 + y 2 = 1 como una curva de nivel de z = 2x2 + y 2 . Luego z(a, b) es perpendicular a C si (a, b) ∈ C. 9. El puntoen que la derivada direccional de una funci´n , en cualquier direcci´n es igual a cero, se llama o o punto estacionario de esta funci´n. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes funciones: o

8. Demostrar que la derivada direccional de la funci´n cuya ecuaci´n es z = o o

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a) z = x2 + xy + y 2 − 4x − 2y b) w = 2y 2 + z 2 − xy − yz + 2x

10. Sea z =...