Poisson

DISTRIBUCION DE POISSON
La distribución de Poisson de debe su nombre a Siméon Dennis Poisson (1781-1840), un francés que desarrollo la distribución a partir de los estudios que realizó durante la última parte de su vida.
2.1 Experimento y proceso de Poisson
Consideremos las siguientes variables aleatorias:
1. El número de partículas emitidas por cierta sustancia radioactiva en undeterminado lapso de tiempo.
2. El número de accidentes de tráfico que ocurren en un cruce durante un día.
3. El número de llamadas que llegan a una central telefónica en cierto intervalo de tiempo.
4. El número de órdenes de devolución de piezas q recibe una empresa en una semana.
5. El número de niños nacidos con un problema en el corazón durante un año.
6. El numero de lanzamientos“no golpeados” por un beisbolista famoso durante su carrera.
7. El número de veces que falla una pieza de un equipo durante un periodo tres meses.
8. El número de nuevas infecciones por una enfermedad contagiosa en una población durante un mes.
9. El número de mordeduras de serpientes venenosas en un tiempo determinado.
10. El número de huelgas anuales en una empresa.
Cada una deestas variables aleatorias se caracteriza por ser el número de ocurrencia de cierto suceso durante un periodo de tiempo. Estas variables aleatorias están asociadas a unos procesos llamados procesos de Poisson, el cual explicaremos a continuación. Consideremos la situación ilustrada en la figura donde se mide el tiempo a lo largo de la línea horizontal, y supongamos q estamos interesados en el periodoque comienza en 0 y termina en t. las ocurrencias de sucesos a lo largo del eje temporal se indican con el símbolo *. Por tanto, en esta ilustración ocurren seis sucesos en el periodo de tiempo relevante.

Figura: ilustración del numero aleatorio de ocurrencias * de un suceso de tiempo

Entonces para alguna constante positiva ʎ, un PROCESO DE POISSON está caracterizado por las siguientespropiedades:
(P1) La probabilidad de que exactamente 1 evento ocurra en un intervalo de tiempo de longitud t es igual a ʎt + o(t), donde o(t) es una función f(t) de tal manera que limt→∞f(t)t= 0. Este número ʎ es llamado el parámetro de proceso de Poisson y representa al número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo.
(P2) La probabilidad de que 2 o más eventos ocurran en un intervalo detiempo de longitud t es igual a o(h).
(P3) Para cualesquiera enteros n, j1, j2,…, jn y cualquier subconjunto de n intervalos no traslapados, si definimos Ei como el evento que exactamente ji de los eventos bajo consideración en el i- ésimo de estos intervalos, entonces los evento E1,E2,…,En son independientes.
Los supuestos (P1) Y (P2) establecen que para pequeños valores de h, la probabilidad deque exactamente 1 evento ocurra en un intervalo de tamaño t es igual a ʎt más algo que es pequeño comparado con t, siempre y cuando la probabilidad de que 2 o más eventos ocurran sea pequeña comparada con h. El supuesto (P3) establece que lo que ocurra en un intervalo no tiene efecto (probabilístico) en lo que ocurra en los otroa intervalos no traslapados.
Bajo los supuestos (P1), (P2) y (P3)podemos demostrar que el numero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo de longitud t es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con parámetro ʎ.

DISTRIBUCION DE POISSION
La llamada distribución de probabilidad de Poisson representa adecuadamente la estructura probabilística del numero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo [0,t]. A continuación se presentarálo que se utiliza para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades.
“Teorema 2.2 consideremos un proceso de Poisson con parámetro ʎ>0 (es decir, ʎ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo) y sea X el “numero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo [0 ,t ]”. Entonces la probabilidad de que ocurran k eventos en ese intervalo está dada por
P(X = k) = 1k!e-ʎ.ʎk,...