POLINOMIO VILLAREAL

Elevación de polinomios a una potencia cualquiera
(Método de Villarreal)
1. Introducción
2. Breve reseña histórica
3. Método de Villarreal
INTRODUCCION
Hace mucho tiempo leyendo un texto de historia del Perú de Gustavo Pons Muzzo en el capitulo X IV :”Las Ciencias en
la Epoca Republicana” encontré un personaje llamado Federico Villarreal V. (1850-1923) y según su biografía se trató
de unreconocido matemático de finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX que descubrió en 1873 un novedoso
método para "elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera" en ese instante me entró una curiosidad por
saber en que consistía ese método.
Pasaron los años y en el mes de enero de este año (2002) me enteré por medio de una conversación informal con mi
amigo el futuro ilustrematemático huaralino Edward W.Morales que él había encontrado en al biblioteca de la
Universidad Nacional Mayor de San Marcos el trabajo original de Villarreal relativo a dicho método y fue él mismo quién
me proporcionó esa valiosa información que le he dado forma y lo plasmo en este trabajo, ahora bien espero
sinceramente, que el contenido de este trabajo sea de tu completo agrado.

Julio A.Miranda Ubaldo
BREVE RESEÑA HISTORICA
En 1873, encontrándose en su pueblo natal Túcume del departamento de Lambayeque (Perú), Federico Villarreal V.
(1850-1923) descubre un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este hecho provocó
que otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a profundidad este descubrimiento y
bautizase eldesarrollo de la potencia del polinomio como el “Polinomio de Villarreal”. El historiador peruano Jorge
Basadre en su “Historia de la República del Perú” (Tomo X, pag.28) dice: “ Es tan perfecto que aun para el caso de un
binomio resulta fácil y seguro y rápido que el método del binomio de Newton”.
En su tesis de 1879 para optar el grado de bachiller en ciencias matemáticas titulado:”Fórmulas y métodosque deben
completarse en matemáticas puras” Villarreal inserta su método pasando desapercibido - según él – “por el estado de
las matemáticas en el Perú”. Este novedoso método Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo de 1886 en la
do
revista “ La Gaceta Científica” (2 tomo) pero como siempre sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la
debida importancia a su trabajo.En 1919 Vilarreal nuevamente publica su método esta vez en la “Revista de Ciencias” bajo el título de:
“Elevación de polinomios a una potencia cualquiera” que es justamente el título de este trabajo.
Veamos................................
METODO DE VILLARREAL
Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de “x” y de grado “m”:

a m x m + a m −1 x m −1 + ...... + a3 x 3 +a 2 x 2 + a1 x + a 0 y elevémoslo a la n-ésima potencia, es de esperarse que el
resultado sea otro polinomio completo y ordenado dependiente de “x” y de grado “mn”:

bmn x mn + bmn −1 x mn −1 + ...... + b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0 en resumidas cuentas:

donde

a m , a m −1 , .......... ..a 2 , a1 , a 0 ∈ R y n ∈ C

procedamos a obtener los coeficientes : bmn ,

bmn −1 ,......, b3 , b2, b1 y b0 usando el método de Leibnitz (método de los

coeficientes indeterminados).
Hagamos:

G (x) = a m x m + a m −1 x m −1 + ...... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0

.....(2) y

F (x) = bmn x mn + bmn−1 x mn−1 + ...... + b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0 ......(3)
entonces la ecuación (1) podemos escribirla de la siguiente manera:

[G ( x)]n
tomando derivadas a la ecuación (4):

= F (x ) .....(4)

n [G ( x)] G ' ( x) = F ' ( x) .....(5)
n −1

y multiplicándola por G (x ) :

n [G ( x)] G ' ( x) = F ' ( x)G ( x) ......(6)
n

pero de (4) la ecuación (6) también puede escribirse como:

nF ( x )G ' ( x) = F ' ( x)G ( x ) .....(7)
De acuerdo a la ecuación (7) es necesario que derivemos
respectivamente:

G (x) y F (x) entonces de (2) y (3)

G ' ( x ) = ma m x m...