polinomio

es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potenciasenteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo yanálisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, unconcepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.
Definición algebraica
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma


Un polinomio no es másque una sucesión matemática finita tal que .
Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:


Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.Polinomios de varias variables
Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo losmonomios:

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Factorización de polinomios
Artículo principal: Factorización.
En un anillo conmutativo una condición necesaria para que un monomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que eltérmino independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:

necesariamente divide a
En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorización, por ejemplo el binomio nofactoriza sobre pero sí factoriza sobre :


Por otra parte no factoriza ni sobre , ni tampoco sobre aunque factoriza sobre :


Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Términos: Cada uno de los sumandos que tiene un polinomio.
Coeficientes: Los números racionales que multiplican a las potencias de la variable en cada término.Grado del polinomio: El mayor exponente al cual aparece elevada la variable.
El término a0 ó a0 x0 se llama término independiente, ya que usualmente no se escribe acompañado de la variable.
Se llama polinomio a toda expresión algebraica definida como la suma ordenada de un número finito de monomios, donde un monomio es el producto de un coeficiente por una variable elevada a un exponente....