Polinomios de legendre para resolver una ecuacion de laplace exponencial

Aplicación de los polinomios de Legendre en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial:

Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial,dirigimos nuestra atención a las soluciones de la ecuación d e Laplace donde el ángulo [pic] es función de más de una variable. Muchos de los problemas tratan de conductores en forma de esferas ocilindros y, por tanto, se necesitan soluciones de la ecuación de Laplace ya sea en coordenadas esféricas o cilíndricas. El análisis se limita a los problemas en los que [pic] es independiente del ánguloazimutal [pic].

Para el caso esférico, [pic] es [pic], donde r es el radio vector que va desde un origen fijo O, y [pic] es el ángulo polar. [pic]

Así la ecuación de Laplace se convierte en:[pic]

Resolviendo por separación de variables, una solución de la forma [pic]=[pic] se sustituye en la ecuación anterior y tenemos:

[pic]

Dividiendo por [pic], y multiplicando por [pic],la ecuación queda:

[pic]

La única forma en que la función de r (lado izquierdo) sea igual a la función de [pic] (lado derecho), es que ambas funciones sean constantes. En consecuenciaigualaremos cada miembro de la ecuación a [pic], siendo esta la constante de separación.
No todos los valores de [pic] proporcionan necesariamente soluciones aceptables con bases físicas.
Consideramosprimero la ecuación para [pic], la ecuación de Legendre:

[pic]

Las únicas soluciones aceptables que están definidas en el intervalo de [pic], que va desde 0 hasta [pic] corresponden a [pic], siendo[pic] un entero positivo. La solución para un [pic] en particular se representará con [pic]. Las soluciones de la ecuación para otros valores de [pic]no se comportan bien en al vecindad de [pic]=0 o[pic]= [pic] radianes, volviéndose infinitas o incluso indefinidas para esos valores de [pic].
Las soluciones aceptables, son polinomios en [pic], que conocemos como polinomios de Legendre. Las...