Polinomios ortogonales. Calculo Númerico

Polinomios de Jacobi
(α,β)

Los polinomios de Jacobi, {Pn
funci´n peso
o

}, son ortogonales respecto a la

w(x) = (1 − x)α (1 + x)β ,

α, β > −1

en el intervalo [-1,1]. Resultan deaplicar el proceso de ortogonalizaci´n de Gram–Schmidt al sistema {1, x, x2, . . .}.
o
CASOS PARTICULARES
• Polinomios de Legengre: α = β = 0.
• Polinomios de Chebyshev de primera especie: α = β = −1 .
2
1
• Polinomios de Chebyshev de segunda especie: α = β = 2 .
Polinomios de Jacobi (n=2,3,...6)
1

α = −0.5

0.8

β=1

0.6
y
0.4
0.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1

0.4

x

0.6

0.8

1

Polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre, {Pn}, son ortogonales respecto a la
funci´n peso
o
w(x) ≡ 1
en el intervalo [-1,1].• Relaci´n de recurrencia
o
(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x),
P−1 ≡ 0, P0 ≡ 1.
• Pn =

2
2n+1

• Coeficiente director
an =

(2n)!
.
2n(n!)2

• F´rmula de Rodrigues
o
Pn(x) =(−1)n
2nn!

dn
(1 − x2)n
n
dx

n ≥ 0,

Polinomios de Legendre (n=0,1,...6)
1

0.5

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

–0.5

–1

CerosLegendre n=1,..10
1

0.5

0

–0.5

–1
–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0
x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomios de Chebyshev de 1a especie
Los polinomios de Chebyshev de 1a especie,{Tn}, son ortogonales
respecto a la funci´n peso
o
w(x) = √

1
1 − x2

en el intervalo [-1,1].
• Tn(x) = cos(n arccos x), n = 0, 1, 2, . . .
• Relaci´n de recurrencia
o
Tn+1(x) = 2 xTn(x) − Tn−1(x),
T0 ≡ 1, T1 = x.
• T0 =

√
π,

Tn =

π
2,

n>0

• Coeficiente director
an = 2n−1.

n ≥ 1,

Chebyshev primera especie (n=0,1,...6)
1

0.5

–1

–0.8

–0.6

–0.4–0.2

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

–0.5

–1

Ceros Chebyshev primera especie n=1,..10
1

0.5

0

–0.5

–1
–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0
x

0.2

0.4

0.6...