Polinomios ortogonales

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USO DE POLINOMIOS ORTOGONALES
Suponga que se tiene el siguiente modelo aditivo lineal, donde el factor en estudio es de
tipo cuantitativo, con niveles X1 , X 2 , , X t
Yij     i   ij , para j  1,

, r ; i  1,

(1)

,t

una reparametrización del modelo dado en (1) es:

Yij   0  1P  X i  
1

  t 1P1  X i    ij ,
t

j  1,

, r ; i  1,

,t

(1)donde:
P0  X i   1

P  X i   X i P0  X i   1P0  X i 
1
P2  X i   X i P  X i    2 P  X i    1P0  X i 
1
1

Ph1  X i   X i  X i    h1P  X i    h Ph1  X i 
1
j  1, 2,

con P1  X ij   0 y m  t  1 . Siendo

 X P  X 
t

 j 1 

2

h

h 1

j

h

 P  X 
t

2

j

h 1

h

t

j 

 X h Pj  X h  Pj 1 X h 
h 1

 P  X 
t

h 1

,m

2

j 1

 P  X 
t



h

h 1
t

2

j

h

 P  X 
h 1

2

j 1

h

En este caso, se puede demostrar que se cumple:

P  X 
t

h 1

2

j

l  1, 2,

h

 0,

t

 Pj  X h   0 y
h 1

t

 P  X  P  X   0 , para
h 0

j

h

l

h

j  1, 2,

, t  1,

, t  1 , ypara j  l .

Es decir estos polinomios son ortogonales.
En este modelo se puede considerar menos polinomios ortogonales, dependiendo de la
significancia de los efectos obtenido al realizar la prueba de F parcial.

Estimación de Parámetro
Sean

 Ph  X 1  


 Ph  X 1   ,
Ph 




 Ph  X t  



P  1 P1

 0 
Y11 
  11 
 
Y 
 
 1Pt 1  , Y   12  , δ    2  , ε   12 






 Ytr 
  tr 


 t 1 


P2

Entonces, el modelo dado en (2) puede ser escrito
Y  Pδ  ε

(3)

Entonces el estimador mínimo cuadrático de δ está dado por:
1
ˆ
δ   PP  PY

(4)

Se puede observar:

tr

0


PP   0




0



0
t

0

r  P  X i 
1

00

r  P2  X i 

2

i 1

t

2

i 1

0

0




0



0



t
2
r  Pm  X i  

i 1

0

Es una matriz diagonal,
t
r


 Yij 

i 1 j 1


t
r


  P  X i  Yij 
1
 i 1 j 1

t r
 , Luego,
PY 
  P2  X i  Yij 
 i 1 j 1





t r

  Pm  X i  Yij 
 i 1 j 1


 1
0
 tr

1
0
t

2
r  P  X i 

1
i 1


ˆ
0
δ0





0
0



Entonces



t
r


 Yij 


i 1 j 1
0

 t r



  P  X i  Yij 
1
 i 1 j 1


t r
,
0

  P2  X i  Yij 


  i 1 j 1





tr



1
  Pm  X i  Yij 

t

2  i 1 j 1

r  Pm  X i  

i1


0

0

0

1
t

r  P2  X i 

2

i 1

0



Y
t r


P  X Y 
  1 i ij 
i 1 j 1
t

 r   P  X i 2 
1
 i 1

t r

  P2  X i  Yij 

ˆ
δ   i 1 t j 1

2
 r   P2  X i  
 i 1





t r

  Pm  X i  Yij 
 i 1 j 1

2
t
 r   Pm  X i  


 i 1


Análisis deVariancia
Se puede observar que la
2

2

t r
 t r

P  X i  Yij   P2  X i  Yij 
 1
i 1 j 1
   i 1 j 1

ˆ
SC Re g  δPY  trY 2   t
t
2
2
r  P  X i 
r  P2  X i 
1
i 1

= SCTrat

i 1

t r

 Pm  X i  Yij 
i 1 j 1


t

r  Pm  X i 
i 1

2

2

También
2

t r

 Ph  X i  Yij 
i 1 j 1
,
SC Efecto h    t
2
r  Ph  X i 

para h  1, 2,

,m

i 1

Luego,
m

SCTrat   SC  Efecto de orden h 
h 1

Por Tanto, se tiene el siguiente cuadro de ANVA
Fuente de
Variación
Tratamiento
Lineal
Cuadrático
.
.
.
De orden m
Error
Total

SC
SCReg=SCTrat
SC[Lineal]
SC[Cuadrático]
.
.
.
SC[De grado m]
SCE
SCTotal

GL

CM

m=t-1 CMReg=CMTrat
1...
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