Polinomios ortogonales
Suponga que se tiene el siguiente modelo aditivo lineal, donde el factor en estudio es de
tipo cuantitativo, con niveles X1 , X 2 , , X t
Yij i ij , para j 1,
, r ; i 1,
(1)
,t
una reparametrización del modelo dado en (1) es:
Yij 0 1P X i
1
t 1P1 X i ij ,
t
j 1,
, r ; i 1,
,t
(1)donde:
P0 X i 1
P X i X i P0 X i 1P0 X i
1
P2 X i X i P X i 2 P X i 1P0 X i
1
1
Ph1 X i X i X i h1P X i h Ph1 X i
1
j 1, 2,
con P1 X ij 0 y m t 1 . Siendo
X P X
t
j 1
2
h
h 1
j
h
P X
t
2
j
h 1
h
t
j
X h Pj X h Pj 1 X h
h 1
P X
t
h 1
,m
2
j 1
P X
t
h
h 1
t
2
j
h
P X
h 1
2
j 1
h
En este caso, se puede demostrar que se cumple:
P X
t
h 1
2
j
l 1, 2,
h
0,
t
Pj X h 0 y
h 1
t
P X P X 0 , para
h 0
j
h
l
h
j 1, 2,
, t 1,
, t 1 , ypara j l .
Es decir estos polinomios son ortogonales.
En este modelo se puede considerar menos polinomios ortogonales, dependiendo de la
significancia de los efectos obtenido al realizar la prueba de F parcial.
Estimación de Parámetro
Sean
Ph X 1
Ph X 1 ,
Ph
Ph X t
P 1 P1
0
Y11
11
Y
1Pt 1 , Y 12 , δ 2 , ε 12
Ytr
tr
t 1
P2
Entonces, el modelo dado en (2) puede ser escrito
Y Pδ ε
(3)
Entonces el estimador mínimo cuadrático de δ está dado por:
1
ˆ
δ PP PY
(4)
Se puede observar:
tr
0
PP 0
0
0
t
0
r P X i
1
00
r P2 X i
2
i 1
t
2
i 1
0
0
0
0
t
2
r Pm X i
i 1
0
Es una matriz diagonal,
t
r
Yij
i 1 j 1
t
r
P X i Yij
1
i 1 j 1
t r
, Luego,
PY
P2 X i Yij
i 1 j 1
t r
Pm X i Yij
i 1 j 1
1
0
tr
1
0
t
2
r P X i
1
i 1
ˆ
0
δ0
0
0
Entonces
t
r
Yij
i 1 j 1
0
t r
P X i Yij
1
i 1 j 1
t r
,
0
P2 X i Yij
i 1 j 1
tr
1
Pm X i Yij
t
2 i 1 j 1
r Pm X i
i1
0
0
0
1
t
r P2 X i
2
i 1
0
Y
t r
P X Y
1 i ij
i 1 j 1
t
r P X i 2
1
i 1
t r
P2 X i Yij
ˆ
δ i 1 t j 1
2
r P2 X i
i 1
t r
Pm X i Yij
i 1 j 1
2
t
r Pm X i
i 1
Análisis deVariancia
Se puede observar que la
2
2
t r
t r
P X i Yij P2 X i Yij
1
i 1 j 1
i 1 j 1
ˆ
SC Re g δPY trY 2 t
t
2
2
r P X i
r P2 X i
1
i 1
= SCTrat
i 1
t r
Pm X i Yij
i 1 j 1
t
r Pm X i
i 1
2
2
También
2
t r
Ph X i Yij
i 1 j 1
,
SC Efecto h t
2
r Ph X i
para h 1, 2,
,m
i 1
Luego,
m
SCTrat SC Efecto de orden h
h 1
Por Tanto, se tiene el siguiente cuadro de ANVA
Fuente de
Variación
Tratamiento
Lineal
Cuadrático
.
.
.
De orden m
Error
Total
SC
SCReg=SCTrat
SC[Lineal]
SC[Cuadrático]
.
.
.
SC[De grado m]
SCE
SCTotal
GL
CM
m=t-1 CMReg=CMTrat
1...
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