Polinomios

POLINOMIOS: FACTORIZACIÓN Y GRÁFICAS

Si multiplicamos dos polinomios obtenemos un polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los factores

Ejemplo:


Diremos que un polinomio p(x) es reducible si podemos descomponerlo en producto de dos polinomios de grado mayor que 0. En caso contrario diremos que el polinomio es irreducible

Ejemplos:


es un polinomio de grado 2 quefactoriza en dos polinomios de grado 1. Es por tanto reducible.

es un polinomio de grado 1 y, aunque se puede factorizar extrayendo factor común, es irreducible porque uno de los polinomios de la factorización debe ser de grado 0.


Grado 0
c(x) = k, siendo k un número.

Ejemplos: c(x) = 6 d(x) = -5 f(x) =
Factorización: Son irreducibles. Los dos factores tendrían que ser de grado 0, para quela suma de sus grados siguiera siendo 0.
Gráfica: es una recta horizontal a la altura indicada por el número k

Ejemplos:

c(x) = 6
d(x) = -5
f(x) =




Grado 1
u(x) = mx + n m se denomina pendiente, y n ordenada en el origen
Ejemplos: u(x) = 2x +1 v(x) = -x + 3 w(x) =
Factorización:
Son irreducibles, porque en toda factorización uno de los factores tendría que ser degrado 0.

Raíces:
Siempre tienen una única raíz r. (Raíz de un polinomio es un número, r, que hace que este valga 0, es decir u(r)=0)

Método de obtención de la raíz:

Se resuelve la ecuación de primer grado asociada
Ejemplos: . La raíz es r =
La raíz es r = 3
La raíz es r = 4Gráfica: es una recta oblicua que:

Corta al eje horizontal en la raíz del polinomio
Pasa sobre el origen de coordenadas a la altura indicada por la ordenada en el origen
Su inclinación viene indicada por la pendiente.

Ejemplos:

u(x) = 2x +1 =
v(x) = -x + 3 = -(x-3)
w(x) =

Corta al eje x en
Pasa a altura 1 sobre (0,0)
Pendiente = 2


Corta al eje x en 3
Pasa a altura 3sobre (0,0)
Pendiente = -1



Corta al eje x en 4
Pasa a altura -2 sobre (0,0)
Pendiente =


Grado 2
d(x) = ax2 + bx + c a, b, c se denominan los coeficientes del polinomio.
Ejemplos: d(x) = x2 +5x+6 z(x) = -x2 - 2x -1 q(x) =
p(x) = x2 – 4 k(x) = x2 + 6x +9 f(x) = x2 + 25
Factorización:
Pueden ser irreducibles o no,dependiendo del número de raíces reales del polinomio
Método de obtención de la raíces:
Se resuelve la ecuación de 2º grado asociada utilizando la fórmula de Cardano

A veces es más fácil observar la expresión notable, o resolver la ecuación incompleta.
Tiene 2 raíces distintas

d(x) = x2 +5x+6
Raíces: r1 = -2, r2 = -3
Factoriza
Tiene 1 raíz “repetida”

z(x) = -x2 -2x-1Raíces: r1 = r2 = -1
Factoriza

No tiene raíces

q(x) = 2x2 +8x+10
Raíces: no hay
No factoriza

p(x) = x2 – 4
Factoriza
Raíces: r1 = 2, r2 = -2
k(x) = x2 + 6x +9
Factoriza:
Raíces: r1 = r2 = -3
f(x) = x2 + 25
No factoriza
Raíces: No existe
Gráfica: es una línea curva llamada parábola:

Corta al eje horizontal en las raíces del polinomio.
La abscisa de su vértice es la media delas raíces, es decir
Es convexa () si a es positivo (a>0) y cóncava () si a es negativo (a 0, es convexa ()


Corta al eje en -1

a = -1 < 0, es cóncava ()


No corta al eje x

a = 2 > 0,es convexa

Grado 3
d(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a0 ai se denominan los coeficientes del polinomio.

Ejemplos: t(x) = x3 - 2x2 - x + 2 h(x) = x3 + 7x2 + 16x + 12 s(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 1
g(x) = a(x) = x3 + 2x2 - x + 3 b(x) = x3 - 7x2 + 14x - 7

Raíces:
Siempre tienen al menos una raíz r1. Esto se debe al hecho de que en todo polinomio de grado 3 se encuentran valores numéricos negativos y valores numéricos positivos. Por tanto, en algún punto (x= r1) debe existir el valor numérico 0.

Factorización:...