Polinomios

Polinomios
Pablo De Nápoli
versión 0.8.4

Resumen
Este es un apunte de las teóricas de álgebra I, del primer cuatrimestre de 2007, turno noche. Ya está quedando más completo ( El único
tema importante que falta es el polinómio interpolador de Lagrange).

1. Introducción
Históricamente el álgebra surgió del estudio de las ecuaciones algebraicas.
Por ejemplo, consideramos la ecuación

X2 = 5X − 6
donde

X

es un número desconocido que queremos determinar (una in-

determinada). Una estrategia para resolverla, consiste en pasar de término
todos los términos a un mismo miembro de la igualdad, para obtener una
ecuación igualada a cero:

X 2 − 5X + 6 = 0
Esta es una ecuación cuadrática de las que se estudian en la escuela
secundaria. Una expresión tal como la queaparece en el primer miembro de
esta ecuación:

P (X) := X 2 − 5X + 6
que se obtiene sumando potencias no negativas de
números, se denomina un

polinomio

1

X

multiplicadas por

en la indeterminada

X.

Resolver la

Notas de Álgebra I - c 2007 Pablo L. De Nápoli

ecuación consiste entonces en determinar los
es decir aquellos valores de

X

2

ceros o raices delpolinomio,

para los cuales el polinomio se anula.

Entonces la estrategia consiste en tratar de

factorizar el polinomio, esto

es expresarlo como producto de polinomios de grado más pequeño. En este
caso, esto puede usarse utilizando la técnica de completar el cuadrado:

P (X) =

X−

5
2

2

−

25
+6=0
4

Utilizando entonces la factorización de una diferencia de cuadradosa2 − b2 = (a − b)(a + b)
obtenemos:

P (X) =
P (X) =

X−

5
X−
2
5 1
−
2 2

2

−

1
=0
4

X−

5 1
+
2 2

o

P (X) = (X − 2)(X − 3)
Como para que el producto de dos números sea cero alguno de los dos
debe ser cero, deducimos que el polinomio se anulará exactamente cuando

X=2

o cuando

X = 3.

Estas son pues, los ceros o raices del polinomio

P.Así pues, vemos que existe una importante conección entre el problema
de encontrar los ceros o raices de un polinomio, y el problema de factorizarlo.
Exploraremos esta conección más en detalle en lo sucesivo.

1.1.

Las estructuras algebraicas de anillo y de cuerpo

Nuestro primer objetivo será dar una denición formal del concepto de
polinomio.
Consideraremos en lo sucesivo polinomios dedistintos tipos, como por
ejemplo con coecientes enteros como

3X 3 − 5X 2 + 10X − 2
con coecientes racionales como

Notas de Álgebra I - c 2007 Pablo L. De Nápoli

3

3 2 5
X − X + 10
2
2
con coecientes reales taales como

√
X2
2
−
X +π
2
2
o con coecientes complejos tales como

(2 + i)X 2 − (3 − i)X + 1
Para poder tratar todos estos casos de una manera unicada,necesitaremos introducir la estructura algebraica de anillo. Informalmente, un anillo
es un conjunto

A

en el que están denidas de alguna manera las operaciones

de suma, resta, producto y multiplicación. Veamos una denición formal:

Denición 1.1 Un anillo es un conjunto A donde están denidas dos operaciones

1

+:A×A→A
·:A×A→A

de modo que se veriquen las siguientes propieades(axiomas de la estructura
de anillo):
1. Propiedad Asociativa de la suma:
(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ A

2. Propiedad Conmutativa de la suma
a + b = b + a ∀ a, b ∈ A
1 Una

operación tal como la suma +, en un conjunto A, no es otra cosa que una función
+ : A × A → A. Por convención, escribiremos
a+b

en lugar de +(a, b). Similarmente, escribiremos
a·b

en lugar de ·(a,b).

Notas de Álgebra I - c 2007 Pablo L. De Nápoli

4

3. Existencia de neutro para la suma Existe un elemento 0 ∈ A, tal que:
a+0=0+a=a∀a∈A

4. Existencia de inversos aditivos Para todo a ∈ A, existe un elemento
−a ∈ A, tal que:
a + (−a) = (−a) + a = 0

Notamos que en cualquier anillo se puede denir la operación de resta
a − b especicando que:
a − b = a + (−b)

5. Propiedad...