polinomios

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Cuando se quiere indicar un número no conocido, una cantidad o una
expresión general de la medida de una magnitud (distancia , superficie ,
volumen, etc…) se usan letras o bien combinaciones de números y letras.
x

Por ejemplo si x es el lado de un cuadrado , entonces :
Su perímetro es 4x

Su superficie (área) es x 2

xSe llama expresión algebraica a toda combinación de letras y números
ligados por los signos de las operaciones aritméticas : suma , resta ,
producto, división y potencia.
Cada una de las distintas letras de una expresión algebraica se denominan
variables
Cuando una expresión algebraica designa la
medida de una magnitud se le llama fórmula. Por
ejemplo el volumen de un cubo cuyo lado valea
viene dado por la fórmula V = a3

a

a

Toda expresión algebraica tendrá un valor
numérico concreto cuando sustituyamos la
variable por un cierto valor ; si en el caso del cubo
nos dicen que a=3 entonces V=33=27

a

B. MONOMIOS ENTEROS.
Expresiones algebraicas hay de muchos tipos: 3xy ,

1

3
x yz , 5x-1 ,etc…

2

A nosotros nos van a interesar un tipo muy concreto deestas expresiones
•

Se llama monomio a toda expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que interviene son la multiplicación y la potencia de
exponente natural.

•

En particular nos interesan los monomios enteros que son aquellos en
los que sólo aparecen números enteros ( …-4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, …)

•

Además sólo consideraremos monomios con una única variable (letra).

Ejemplos : -7x3 , 2y2 , 3x5, -x3, … son monomios enteros 3+x , 5xy,

x , no lo son

1
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001

• Se llama grado del monomio al exponente de su variable. Por ejemplo
el monomio 5x4 es de grado 4 o 4º
• Diremos que dos monomios son semejantes cuando tengan el mismo
grado

A los números que acompañan a la variable se les llama coeficientes
Por ejemploel coeficiente del monomio –6x3 es –6.
Vemos que el hecho de que dos monomios sean semejantes dependerá
de los exponentes y no de los coeficientes(números).
SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS
Sólo se pueden sumar ( o restar) monomios semejantes.
Si los monomios no son semejantes la operación se deja indicada
Por ejemplo si tenemos M(x)=4x4 y N(x)=−7x2 entonces su suma es:
M(x) + N(x) = 4x4 +(−7x2) = 4x4 −7x2
Cuando son semejantes el resultado de la suma ( o la diferencia)
será otro monomio semejante cuyo coeficiente será la suma ( o la
diferencia ) de los coeficientes de los sumandos.
Por ejemplo tenemos M(x)=4x2 y N(x)=3x2 calculemos su suma:
M(x)+ N(x)=4x2 + 3x2=( 4+3 ) x2= 7x2
Suma de
coeficientes

Monomio semejante
a los sumandos

La diferencia será :
M(x)- N(x)=4x2 -3x2=( 4-3 ) x2 = x2
Diferencia de los
coeficientes

PRODUCTO DE MONOMIOS
Se pueden multiplicar todo tipo de monomios.

El resultado será otro monomio cuyo coeficiente es el resultado de
multiplicar los coeficientes y cuya variable es el resultado del
producto de las variables , es decir , un producto de potencias en el
que tendremos que sumar los exponentes
Ejemplo : Usando los monomiosdel ejemplo de la suma

M(x) ⋅ N(x) = ( 4x2) ⋅ ( 3x2 ) = 4⋅ 3 ⋅ x2 ⋅ x2 = 12 x2+2 = 12 x4
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© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001

C. POLINOMIOS ENTEROS
Un polinomio entero es una expresión algebraica formada por sumas o
diferencias de monomios enteros.

Según lo que acabamos de decir un polinomio cualquiera será de la forma:

P(x)= a0x0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+…………..+ anxn
Aquí aparecen todoslos monomios posibles ( de grado cero , de grado 1 ,
de grado 2 , etc…, hasta que el polinomio se termina en un cierto
monomio de grado n ).
A cada uno de los sumandos de un polinomio se les llama términos
del polinomio.
Las letras a0 ,a1 ,a2 ,a3,……., an que hemos puesto son los
coeficientes de cada monomio y hemos dicho que van a ser números
enteros.
Como sabemos que x0=1 y que x1=x...