POLINOMIOS

Factorización de Polinomios

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS



Objetivos
Al finalizar el desarrollo de este tema, el profesor participante estará en la capacidad de:
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Reconocer un polinomio sobre un conjunto y/o campo numérico.
Reconocer polinomios irreductibles sobre Z y los campos numéricos: Q, R y C.
Identificar un factor primo sobre un determinado conjunto y/o camponumérico.
Conocer las diversas técnicas y métodos para factorizar un polinomio.

Introducción

La factorización ha sido un tema del cual han tratado numerosos matemáticos importantes,
específicamente en la resolución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.
La factorización es uno de los procesos más difíciles de comprender de los estudiantes de
la escuela secundaria, llegandoa no reconocer la necesidad de emplearla o la posibilidad
de aplicarla y, al mismo tiempo, es una de las herramientas mas empleadas en el trabajo
matemático para “transformar” una expresión algebraica de manera conveniente, para resolver
algún problema. Pero su real utilidad, vista a través de la historia, es la resolución de ecuaciones
algebraicas; de hecho, en un primer momento, lafactorización surge ante de necesidad de
resolver ecuaciones de segundo grado.

Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron ecuaciones cuadráticas en unas
tablillas (descifradas por Otto Neugebauer en 1930), cuya antigüedad es de unos 4000 años,
se encontraron soluciones de varias de estas ecuaciones, en cuyo desarrollo, los babilónicos, se
valieron de factorizaciones simples que yaconocían. En términos modernos, este método los
2

b
 b
llevo a resolver la ecuación cuadrática: x2 – bx = c mediante la fórmula x =   + c + .
 2
2

Más adelante matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de
estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, es decir, unaecuación de la forma ax2+bx+c=0 ; a≠0,
− b ± b2 − 4ac
, donde a, b y c son números arbitrarios.
2a

En el presente trabajo se tratan los aspectos teóricos más importantes de la factorización
de polinomios. En el capítulo I recordamos la factorización de polinomios con coeficientes
enteros. Así mismo, vemos algunos criterios y/o métodos para factorizar polinomios sobre
el conjunto Z. En elcapítulo II ampliamos la teoría de factorización de polinomios sobre un
campo numérico, resaltando la diferencia entre polinomio irreductible y polinomio primo en los
diferentes campos Q, R y C; además conoceremos otros métodos de factorización y algunas
aplicaciones.
medinate x =


Espero que este trabajo sirva para motivar a los docentes de educación secundaria y
superior hacia elestudio de otros temas de matemática. Es una invitación a la investigación,
a conocer más sobre matemáticas, un mundo donde la abstracción y la imaginación están
presentes en cualquier lugar donde nos encontremos; y lo que es más importante, al servicio
de nuestros estudiantes.
-1-

Factorización de Polinomios

FACTORIZACIÓN SOBRE Z

Cuando estudiamos al conjunto de los enteros positivos: Z+= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...} vimos que
de acuerdo a la cantidad de divisores que posee cada número, el conjunto Z+ se clasifica en
números simples (tienen a los más dos divisores) y números compuestos (tienen más de dos
divisores).

Los números simples están formados por la unidad: 1 y los números primos: 2 ; 3 ; 5 ;
7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; ... ; y los números compuestos pueden factorizarse.Esta factorización
es única y se llama descomposición canónica. Por ejemplo, la descomposición canónica del
número 600 es 600=23 × 3 × 52, donde los factores primos de 600 son 2 ; 3 y 5.

En este capítulo se va a trabajar solamente con polinomios de grado n≥1 y desarrollaremos
la teoría general de la factorización de polinomios con coeficientes enteros, en donde se dará
con bastante...