POLINOMIOS


Matemáticas. Números y operaciones
Capítulo 5:
 Polinomios
Generalidades
Dado el conjunto Q de los números racionales, consideremos otro elemento al que llamaremos indeterminada y designaremos por x. En dicho conjunto podemos efectuar ciertas operaciones y considerar nuevos elementos, los cuales se obtienen efectuando en el conjunto formado por Q ∪ x las operaciones que se definen en Qextendidas a x. estos nuevos elementos así obtenidos se llaman polinomios en x sobre el conjunto Q de los números racionales. Queda construido el conjunto Q(x) de polinomios con una indeterminada, al considerar el conjunto Q ∪ x y ciertas operaciones.
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homeworksimplified.com/MatemáticasEnlaces patrocinadosAnálogamente, si consideramos el conjunto Q ∪ {x, y}, donde x, y son indeterminadas y admitimos todas las operaciones y propiedades de las operaciones definidas en el conjunto Q de los números racionales, tendremos el conjunto Q(x, y) de los polinomios con dos indeterminadas sobre Q.

En un polinomio, cada término queda separado por los signos de sumar o restar.
Si el polinomio tiene un solo término sellama monomio; si tiene dos términos se llama binomio; si tres, trinomio, y si tiene más de tres se llama polinomio (en general).
Dado un polinomio cualquiera, se llaman coeficientes a los números racionales de cada uno de sus términos, llamándose “término independiente” al que no lleva parte literal, es decir, al coeficiente de x0.
Dado un monomio, se llama grado del mismo a la suma de losexponentes de sus indeterminadas. Por “grado” de un polinomio se entiende el de su término de mayor grado.

El grado del primer término es 5, el del segundo, 4; el del tercero, 2; el del cuarto, 1, y el del quinto, 0. Por tanto, el grado del polinomio es 5 (el del mayor término).
Un polinomio A(x), en el que los exponentes de la indeterminada x van creciendo o decreciendo, se llama,respectivamente, polinomio ordenado respecto de las potencias crecientes o decrecientes de x.
Un polinomio P de grado n se llama “completo” si todos los coeficientes desde el de grado 0 hasta el de grado n son distintos de cero.
Ejemplos: Dados los polinomios
 (completo, pero no ordenado)
 (ordenado, pero incompleto)
 (ordenado y completo)
Adición de polinomios
Para sumar polinomios se disponen como una adición denúmeros, uno debajo de otro, haciendo corresponder verticalmente los términos semejantes.

El grado del polinomio suma es igual o menor que el mayor de los grados de los sumandos.
Propiedades:
1.- Es una operación interna (el resultado es otro polinomio).
2.- Posee la propiedad conmutativa.
3.- Posee la propiedad asociativa.
4.- Posee elemento neutro. Este es el llamado “polinomio nulo” o polinomiocuyos coeficientes son todos cero.
5.- Posee elemento simétrico, que es el opuesto o polinomio que tiene los mismos coeficientes pero cambiados de signo.
Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.
Multiplicación de polinomios
- Para multiplicar un número racional por un polinomio basta multiplicar dicho número por cada uno de los coeficientes.
- Elproducto de dos monomios y es el monomio .
- Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio dado por el monomio, siendo el grado del polinomio producto igual a la suma de los grados del polinomio y del monomio factores.
- Finalmente, para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen después términossemejantes.



El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
Propiedades:
1.- Es una operación interna.
2.- Posee la propiedad conmutativa.
3.- Posee la propiedad asociativa.
4.- Tiene elemento neutro que es el polinomio unidad o polinomio con términos independiente uno y los demás coeficientes igual a cero.
Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios...