Practica 3 hiperbolas y limites

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Práctica 3. Hipérbolas y Límites.
En esta práctica serán resueltos problemas sobre la hipérbola y límites. Las soluciones serán visualizadas con WinPlot.

Problema 1.
Determine el centro, los focos y los vértices de la hipérbola. Trace las asíntotas para estimar la orientación de los brazos de la hipérbola. Verifique sus resultados graficando la hipérbola con WinPlot.
y2-x24 = 1Solución.
Observe que la ecuación canónica de una hipérbola vertical es

(y-k)2a2-(x-h)2b2=1

En este problema, k = 0, h = 0. Por lo tanto el centro de la hipérbola es
C(0, 0)
También a = 1 y b = 2. Como los vértices se encuentran a a unidades del centro, los vértices para esta hipérbola vertical son

V1(0, 1) y V2(0, -1)

Los focos seencuentran a c unidades del centro, como c2 = a2 + b2

c=a2+b2=1+4=5

por lo tanto los focos de la hipérbola vertical se encuentran en

F1(0, +5) y F2(0, -5)

Las asíntotas para una hipérbola vertical vienen dadas por

y=k+ab(x-h) y y=k-ab(x-h)

por lo tanto tenemos

y=0+ 12(x-0) y=12x

y=0-12(x-0) y=-12x
La excentricidad e=ca=51=2,24

Grafique las asíntotas lo cual le dará una indicación de cómo será la hipérbola vertical y luego grafique la hipérbola, verifique los resultados obtenidos.

Ilustración 1. Gráfica de la hipérbola y2-x24 = 1.

Problema 2.
Determine el centro, los focos y los vértices de la hipérbola. Trace las asíntotas paraestimar la orientación de los brazos de la hipérbola. Verifique sus resultados graficando la hipérbola con WinPlot.
(x-1)24-(y+2)21=1

Solución.
Observe la ecuación canónica para una hipérbola horizontal,

(x-h)2a2-(y-k)2b2=1

De la ecuación, obtenga que h = 1 y k = -2. Por lo tanto el centro de la hipérbola es

C(1, -2)

De la ecuación se obtengaigualmente que a = 2 y b = 1.
Como c2 = a2 + b2, c=a2+b2=4+1=5.

Como los vértices se encuentran a a unidades del centro de esta hipérbola horizontal, obtenga
V1(3, -2) y V2(-1, -2)
Los focos de la hipérbola se encuentran a c unidades del centro, por lo tanto obtenga
F1(1+5, -2) y F2(1-5, -2)

Las ecuaciones para las asíntotas de una hipérbolahorizontal son

y=k+ba(x-h) y y=k-ba(x-h)
Por lo tanto

y= -2+12x-1= -2+12x-12=12x-52=12(x-5)
y=-2-12x-1= -2-12x+12=-12x-32=-12(x+3)

La excentricidad e=ca=52=1,12

Grafique la hipérbola y verifique los resultados obtenidos.

Ilustración 2. Gráfica de la hipérbola (x-1)24-(y+2)21=1.
Problema 3.
Determine el centro, losfocos y los vértices de la hipérbola. Trace las asíntotas para estimar la orientación de los brazos de la hipérbola. Determine la excentricidad de la hipérbola. Verifique sus resultados graficando la hipérbola con WinPlot.
y2 – 9x2 + 36x – 72 = 0
Solución.
La ecuación de la hipérbola se encuentra en su forma general. Proceda a completar cuadrados para obtener su forma canónica.
Primero,divida la ecuación por 9 y reagrupe términos.

y29-(x2-4x )=8

Observe que (x - 2)2 = x2 - 4x + 4 por lo tanto, sume 4 a ambos lados de la ecuación.

y29-(x2-4x +4 )=8 - 4 y y29-(x-2)2=4

Finalmente, divida por 12.

y236-(x+2)24=1
De la forma canónica de la hipérbola, proceda a obtener sus características.

En primer lugar,observe que la ecuación se refiere a una hipérbola vertical de la forma

(y-k)2a2-(x-h)2b2=1

En la cual el centro se encuentra en h = 2 y k = 0.
C(2, 0)

a2 = 36 por lo tanto a = 6
b2 = 4 por lo tanto b = 2
Los vértices se encuentran a a unidades del centro, por lo tanto obtenga los vértices considerando que la hipérbola es...
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