Practica3 Derivadas Parciales

Práctica 3. Derivadas parciales
Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.
Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de
Gestión

1.- DERIVADAS PARCIALES
Dada f@x, yD una función de dos variables se definen las derivadas parciales como
Derivada parcial con respecto a la variable x :

∂x f@x0 , y0 D = lim
h→ 0

Derivada parcial con respecto a la variable y :

∂y f@x0, y0 D = lim
h→ 0

f@x0 + h, y0 D − f@x0 , y0 D
h

f@x0 , y0 + hD − f@x0 , y0 D
h

Mathematica permite el cálculo de las derivadas parciales de una función f: 2 ö en un punto cualquiera (x,y) mediante las órdenes:

D[f[x,y],x]

Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable x.

D[f[x,y],y]

Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable y.

Tambiénpodemos utilizar la paleta BasicInput para las dos derivadas parciales en un punto (x,y)
∂x f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable x
∂y f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable y

Ejemplo 1. Calcular las derivadas parciales de
f(x,y)=x2 y − 3 x y2
In[1]:=

Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 y − 3 x y ^ 2

Calculamos la derivada parcial con respecto a xIn[3]:=

D@f@x, yD, xD

Out[3]=

2 x y − 3 y2

In[4]:=

∂x f@x, yD

Out[4]=

2 x y − 3 y2

Calculamos la derivada parcial con respecto a y

2

Practica3_Derivadas_Parciales.nb

In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=

D@f@x, yD, yD
x2 − 6 x y
∂y f@x, yD
x2 − 6 x y

f(x,y)=x2 sen HyL + I3 x + y2M cos HxL y evaluarlas en el
punto H0, pL.

Ejemplo 2. Calcular las derivadas parciales de

In[7]:=Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 Sin@yD + I3 x + y2 M Cos@xD

Calculamos las derivadas parciales
In[9]:=

∂x f@x, yD

Out[9]=

3 Cos@xD − I3 x + y2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD

In[10]:=

∂y f@x, yD

Out[10]=

2 y Cos@xD + x2 Cos@yD

Las evaluamos en el punto H0, pL
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=

∂x f@x, yD ê. 8x → 0, y → π<
3
∂y f@x, yD ê. 8x → 0, y → π<
2π

1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADASPARCIALES
Las derivadas parciales ∑x f y ∑ y f en el punto (a,b) representan las pendientes de la superficie definida por la gráfica de
f(x,y) en el punto (a,.b,f(a,b)) en las direcciones de x e y, respectivamente.

Ejemplo 3. Calcular la pendiente de la gráfica de
f(x,y)=sen HxL + x2 + y2 en el punto (1,0,f(1,0)) en
las direcciones de x e y, respectivamente.
In[13]:=

Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D:= Sin@xD + x2 + y2

Practica3_Derivadas_Parciales.nb

Representamos la gráfica
In[15]:=

g1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, AspectRatio → Automatic, PlotRange → AllD

Out[15]=

Al intersecar la gráfica con el plano y=0 se obtiene una curva.

3

4

Practica3_Derivadas_Parciales.nb

In[16]:=

g2 = ContourPlot3D@y
Show@g1, g2D

0, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45
Out[16]=

Out[17]=La curva intersección tiene como ecuación z=f(x,0)
In[18]:=
Out[18]=

f@x, 0D
x2 + Sin@xD

Practica3_Derivadas_Parciales.nb

In[19]:=

Plot@f@x, 0D, 8x, 0, 2 5

4

3
Out[19]=

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto x=1 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto
(1,0,f(1,0)) en la dirección de x. Su valor es precisamente ∑x f H1, 0LIn[20]:=
Out[20]=
In[21]:=
Out[21]=

∂x f@x, yD
2 x + Cos@xD
∂x f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N
2.5403

De forma análoga, al intersecar la gráfica con el plano x=1 se obtiene una curva.
In[22]:=

g3 := ContourPlot3D@x == 1, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45 Show@g1, g3D

Out[23]=

La curva intersección tiene ahora como ecuación z=f(1,y)

5

6

Practica3_Derivadas_Parciales.nb

In[24]:=
Out[24]=In[25]:=

f@1, yD
1 + y2 + Sin@1D

Plot@f@1, yD, 8y, −1, 1 2.8

2.6

2.4
Out[25]=

2.2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto y=0 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto
(1,0,f(1,0)) en la dirección de y. Su valor es precisamente ∑ y f H1, 0L
In[26]:=
Out[26]=
In[27]:=
Out[27]=

∂y f@x, yD
2y
∂y f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N
0.

3.-...

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