Proba

FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Jorge M. Galbiati

p´g. a DISTRIBUCION BINOMIAL DISTRIBUCION POISSON DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA DISTRIBUCION GEOMETRICA DISTRIBUCION NORMAL DISTRIBUCION JI-CUADRADO DISTRIBUCION T DE STUDENT DISTRIBUCION F DE SNEDECOR DISTRIBUCION UNIFORME DISTRIBUCION EXPONENCIAL DISTRIBUCION GAMA DISTRIBUCION BETA TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIASCONTINUAS 2 4 5 7 8 11 13 15 17 18 20 23 25

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DISTRIBUCION BINOMIAL Funci´n de probabilidad: o p(x) = n! px (1 − p)n−x x!(n − x)! n ∈ {1, 2, 3, ...} si x = 0, 1, 2, ..., n

Espacio param´trico: e Valor esperado: Varianza: np

p ∈ (0, 1)

np(1 − p) (1 − p + p et )n

Funci´n generadora de momentos: o

p(y)

F(x)

0

x

n

y

APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL Si una variablealeatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, o a entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la X−np variable aleatoria Z = √(np(1−p)) tiene distribuci´n aproximada normal es’tandar. o En la pr´ctica, si n es grande y p no es ni muy peque˜ o ni muy grande, si se requiere a n la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puedeobtener su o valor aproximado buscando en la tabla normal x − 0,5 − np FN √ (np(1 − p) o a en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, las condiciones simult´neas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5. a

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APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, eno a tonces si n es grande, y p muy cercano acero, la variable aleatoria X tiene distribuci´n aproximada poisson con par´metro λ = np. o a En la pr´ctica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acua mulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su valor aproximado o buscando en la tabla poisson
x

FP (x) =
y=0

e−λ (λ)y y!

en que FP es la distribuci´n poisson con par´metro λ = np. Se puedeutilizar, como o a criterio, las condiciones simult´neas n > 30 y np ≤ 5. a

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DISTRIBUCION POISSON Funci´n de probabilidad: o e−λ λx p(x) = x! Espacio param´trico: e λ ∈ (0, +∞) Valor esperado: λ Varianza: λ Funci´n generadora de momentos: o si x = 0, 1, 2, ...

e[λ(e −1)]
t

p(y)

F(x)

0

x

y

APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´nPoisson con par´metro λ , entonces o a √ o si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ tiene distribuci´n aproximada normal λ est´ndar. a En la pr´ctica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F a distribuci´n Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla o normal x−λ FN √ (λ o a en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, comocriterio, la condici´n λ > 36 . o

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DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Funci´n de probabilidad: o p(x) =
k! n!(n−k)!

×

(N −k)! (n−x)!(N −k−n+x)! N! n!(N −n)!

si x = a, a + 1, a + 2, ..., b

en que a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´ mero de ´xitos en la u e muestra. Espacio param´trico: e N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y n < N − k. N es el tama˜ o dela poblaci´n. n o k es el n´ mero de ´xitos en la poblaci´n. u e o n es el tama˜ o de la muestra. n Valor esperado: Varianza:
nk (1 N nk N

−

k ) N −n N N −1

Funci´n generadora de momentos: o (N − n)!(N − k)! H(−n; −k; N − k − n + 1; et ) N! donde H(p, q, r, z) = 1 +
pq z r 1!

+

p(p+1)q(q+1) z 2 r(r+1) 2!

+

p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3 r(r+1)(r+2) 3!

(funci´nhipergeom´trica) o e
p(y) F(x)

a

x

b

y

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APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n hipergeom´trica con par´metros o e a k N, k y n, entonces si N es grande y si N no es ni muy cercano a cero ni muy k cercano a 1, X tiene distribuci´n aproximada binomial con par´metros n y p = N . o a

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DISTRIBUCION GEOMETRICA Funci´n de probabilidad: o...