Probabilidad ii

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1. Se realizan dos lanzamientos de una moneda justa. Sea X el numero de soles obtenidos y
W la funci´on indicadora del evento {X = 2}.Encuentra P(X = x,W = w) para los valores
apropiados de x y w.2. En los siguientes casos indica cuales son funciones de distribuci´on conjunta de un vector
aleatorio (X, Y ). Si tu conclusi´on es afirmativa, encuentra la funci´on de distribuci´on para X
y Y .a)
F(x, y) =

1 − e−x−y si x, y  0
0 e.o.c
b)
F(x, y) =


1 − e−x − xe−y si 0  x  y
1 − e−y − ye−y si 0  y  x
0 e.o.c
3. Sean X y Y variables aleatorias con funci´on dedistribuci´on conjunta
F(x, y) =

(1 − e−x)
1
2 + 1
 tan−1y

si x  0
0 si x < 0
Demuestra que (X, Y ) es un vector aleatorio absolutamente continuo.
4. Sean X,Y variables aleatorias discretascon valores en Z, y con funci´on de densidad conjunta
f. Muestra que para x, y 2 Z,
f(x, y) = P(X  x, Y  y)−P(X  x+1, Y  y)−P(X  x, Y  y−1)+P(X  x+1, Y  y−1).
Si un dado honesto es lanzador veces, encuentra la funci´on de densidad conjunta para el
valor m´as peque˜no y el valor m´as grande obtenidos.
5. a) Si U y V son conjuntamente continuas, muestra que P(U = V ) = 0.
b) Sea X y Yvariables aleatorias, X  U(0, 1) y Y = X. Entonces X y Y son continuas,
y P(X = Y ) = 1. ¿Es esto una contradicci´on?
6. Sea f la funci´on de masa conjunta de X y Y
f(j, k) =
c(j + k)aj+k
j!k!j, k  0
Encuentra c , P = (X = j) y P = (X + Y = r).
7. Consideremos un disco de radio R con centro en el origen y supongamos que se elige un punto
al azar en el disco de tal manera que todas laregiones con la misma ´area tienen la misma
probabilidad. Sean (X, Y ) las coordenadas cartesianas del punto elegido.
a) Calcula la funci´on de densidad conjunta del vector (X, Y ).
b) Calcula lasfunciones de densidad, marginales de X y Y respectivamente.
8. Sean B,C 2 [0, 1]. Calcula la probabilidad de que la ecuaci´on
x2 + 2Bx + C = 0,
tenga ra´ıces reales, cuando la funci´on de...
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