Probando pagina

ONDAS CILÍNDRICAS

Soluciones de la ecuación de onda
Ecuación de onda en coordenadas cilíndricas

∇ 2Ω + k 2Ω = 0 1 ∂  ∂Ω  1 ∂ 2Ω ∂ 2 Ω + + k 2Ω = 0 ρ + ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2

Separación de variables

Ω = R ( ρ ) Φ (φ ) Z ( z ) 1 d  dR  1 d 2 Φ 1 d 2 Z + + k2 = 0 ρ + ρ R d ρ  d ρ  Φ dφ 2 Z dz 2

Separación en ecuaciones diferenciales variables

para cada una de las

1Z ρ R

d 2Z = − k z2 2 dz d  dR  1 d 2 Φ + ( k 2 − k z2 ) ρ 2 = 0 ρ + d ρ  d ρ  Φ dφ 2

1 d2 = −n2 2 Φ dφ ρ d  dR  2 2 2 ρ  − n + ( k − kz ) = 0 R dρ  dρ 

ρ

2 d  dR   2 ρ  + ( k ρ ρ ) − n  R = 0  dρ  dρ  

d 2Φ + n2Φ = 0 dφ 2 d 2Z + k z2Φ = 0 dz 2 Soluciones modales para el problema escalar Ω n ,k z = J n ( k ρ ρ ) e jnφ e jkz z
( Ωn,kz = H n
2)

(k ρ ) eρ

jnφ

e jk z z

2 k 2 = k ρ + k z2

Ω = ∑ ∫ an ( k z ) Ω( ρ , φ , z )dk z
n kz

A continuación se muestran algunas soluciones modales para problemas con simetría axial, en el plano z=0.
( Ωn,k = H n
2)

( k ρ ) e jnφ

kz = 0 k ρ = k 2 − k z2 = k

( Representación gráfica de Re( H n

2)

( k ρ ) cos ( nφ )

Modo 0

Modo 1

Modo 2

Modo 3

La solución completa deexige considerar funciones seno y coseno, o bien soluciones de tipo exponencial. En la gráfica se comparan las soluciones para el modo 1.

Representación gráfica del modo 1

( Re H n

(

2)

( k ρ ) cos ( nφ ) )

( Re H n

(

2)

( k ρ ) sin ( nφ ) )

( Re H n

(

2)

( k ρ ) e jnφ )

( Re H − n) ( k ρ ) e − jnφ
2

(

)

Las soluciones se pueden expresar comocombinación de funciones de Bessel y funciones armónicas.

La representación gráfica de las solución del modo 1 es (distancias normalizadas a λ)

Representación gráfica del modo 1
0.5 0.4 π 2

B( r) 0.2

arg( B ( r) )

0.5

1

1.5

2

2 0 0.5 0.5 1 r 1.5 2 2 −π 0.5

Hn
0.5 0.5

( 2)

(k ρ )
0.5 0.5

arg H n

(

( 2)

( k ρ ))

r

2

Re( B ( r) )

0.5

11.5

2

Im( B ( r) )

0.5

1

1.5

2

− 0.5 0.5 0.5

− 0.5 0.5

Re H n

(

( 2)

( k ρ )) = Jn ( k ρ )

r

2

Im H n

(

0.5

( 2)

( k ρ ) ) = −Yn ( k ρ )

r

2

Re H n
1 1

(

( 2)

( k ρ )) = Jn ( k ρ )

Representación gráfica de los modos 0,1,2
( Im H n
1 1

(

2)

( k ρ ) ) = −Yn ( k ρ )

Re( B ( r) )

0

1

2

Im( B( r) )

0

1

2

−1

1 0.0 r 2

−1

1 0.0 r 2

0
1 1

0
1 1

Re( B ( r) )

0

1

2

Im( B ( r) )

0

1

2

−1

1 0.0 r 2

−1

1 0.0 r 2

1
1 1

1
1 1

Re( B ( r) )

0

1

2

Im( B ( r) )

0

1

2

−1

1 0.0 r 2

−1

1 0.0 r 2

2

2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE MODOS CON VARIACIÓN AXIAL
( Ωn,kz = H n
2)

(k ρ ) e
ρjnφ

e jk z z

2 k 2 = k ρ + k z2

k z = k cos (θ ) k ρ = k sin (θ )

Se representan los modos 0 y 1 en el plano y=0.
( Representación gráfica de Re H n

(

2)

(k ρ ) e )
ρ jk z z

Modo 0 (90º)

Modo 0 (60º)

Modo 0 (45º)

Modo 0 (30º)

Soluciones vectoriales de la ecuación de onda
Modos TMZ
F=0 EÁ − jω = = HÁ 1 ∇× µ + 1 Á (∇ ⋅ ∇ jωµε

)

Campos expresados apartir de la función potencial Á = ΩE z E = − jωΩ E z + H= 1 ∇ × ΩE z µ 1 ∇ ( ∇ ⋅ ΩE z ) jωµε

Expresiones en coordenadas cilíndricas E = − jωΩ E z + 1  ∂ ∂ ∂   ∂Ω E  +ö + z  ñ  jωµε  ∂ρ ∂φ ∂z   ∂z   ∂Ω E   1   1 ∂Ω E  Hñ   = ö  + −  µ   ρ ∂φ   ∂ρ  

Ez = − jωΩ E + Eρ = Eφ =

1 ∂ 2ΩE jωµε ∂z 2

1 ∂ 2Ω E jωµε ∂ρ∂z 1 ∂ 2ΩE jωµε ∂φ∂z

1 ∂Ω E µρ ∂φ 1 ∂Ω E Hφ = − µ∂ρ Hρ =

Modos TEz
Á=0 1 E = ∇×F ε H = − jω F + 1 ∇ (∇ ⋅ F ) jωµε

Campos expresados a partir de la función potencial F = ΩH z E= 1 ∇ × ΩH z ε 1 ∇ (∇ ⋅ ΩH z ) jωµε

H = − jω ΩH z +

Expresiones en coordenadas cilíndricas  ∂Ω H 1   1 ∂Ω H  Eñ   ö + − = ε   ρ ∂φ   ∂ρ H = − jω ΩH z +   

∂ ∂   ∂Ω H  1  ∂ ö + z +  z  jωµε  ∂ρ ∂φ ∂ z   ∂z 

1 ∂Ω H ερ ∂φ 1...