Problema de optimizacion en una parabola y un punto

INTRODUCCIÓN.

Normalmente vemos los temas de matemáticas como algo muy abstracto y no alcanzamos a ver sus usos o aplicaciones en la vida real. En el siguiente trabajo veremos cómo se usa laderivada de una función de forma práctica para resolver un problema que se pudiera presentar en la vida real optimizando los resultados de manera que nos permita ahorrar tiempo, espacio, trabajo,esfuerzo, dinero y material.
 
Desarrollo.
El uso de las derivadas para resolver un problema en la vida real puede expresarse con este ejemplo:

Si se tiene un hotel (punto (4,2)) que se encuentra a uncostado de una carretera que tiene la forma de una parábola ( ). Hallar la distancia mínima del hotel a la carretera para poder construir el camino más corto posible al hotel y así poder ahorrar enmaterial y trabajo.

Para poder obtener la distancia mínima nos basaremos en la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos

(1)

Sustituyendo en la ecuación (1) los datos quetenemos, obtenemos lo siguiente remplazando x1 y y1 por el punto que nos da la ubicación del hotel (4,2)

Como en esta ecuación se obtienen dos incógnitas “x” y “y”, despejaremos a “X” en laecuación original de la parábola ( ) para así poder asignarle un valor a “x” en la ecuación (1) entonces obtendremos

Y sustituyendo en la ecuación (1) sería igual a:

Ydesarrollando esta ecuación obtendríamos lo siguiente:





Ahora para localizar el mínimo utilizaremos el método de derivación, que permite localizar los máximos o mínimos de una función.
Derivamosla función que queremos minimizar




Y resolvemos para localizar los posibles valores que nos dan el mínimo




Sólo hay una solución, así que esa tiene que ser la que nos dé elmínimo.
No es necesario comprobar si es un mínimo o un máximo, porque sabemos que una parábola no tiene fin y no hay distancia máxima porque sería infinita. Así queda demostrado que solo puede...