problemas de valor inicial

Problemas de valor inicial
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.
Definición  [Problema de valor inicial]
 Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial deorden  y de  condiciones iníciales impuestas a la función desconocida y a sus  primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir
 Es decir




Ejemplo 
Una partícula  se mueve a lo largo del eje  de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo  está dada por. Encuentre la posición  de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula estálocalizada en  y está viajando a una velocidad de.
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería




Integrando con respecto a  obtenemos




y usando la condición  podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo  sería




Integrando de nuevo




y usando lacondición  podemos determinar que  y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo 




En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.
 
 
Figura 7
 
Ejemplo
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto  está dada por . ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto  ?
El problema devalor inicial asociado es




Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar




Y usando la condición inicial  obtenemos que , con lo cual la curva buscada es , la cual se muestra en la figura 8.

 
Figura 8
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única
 
Este  tema  habla  de  cuando  se  tiene  un  problema  que  trata  de  modelar  alguna situación  física  (como  por  ejemplo  el  movimiento  de  una  palanca),  para  esto  se  requiere  la  Existencia  y  Unicidad  por  que se  necesita  tener  una  solución  ya  que  debe  de  pasar  algo  físicamente. También  dice  que  la  solución  debe  ser  única,  ya  que  si  se  tiene  el  mismo  problema,  debe  dar  resultados  idénticos,  siempre  y  cuando  sea  deterministico. Por  eso,  cuando  se  tiene  un  problema  de  valor  inicial  se  debe  de  preguntar:
1. Existirá  una  solución  al  problema?
2. En  caso  de  que  exista  una  solución,  será  única?
3. Si  existe  una  solución,  como  se  determina?
A  continuación  se  verá  un  ejemplo:
Si  se  tiene  el  problema  de  valor  inicial:



Fácilmente  se ve  que  es  una  solución,  ya  que separando  las  variables  e  integrando  se obtiene:



Y  usando  la  condición  inicial     se  tiene  que  ,  con  lo  cual  la  solución  sería  .  Obsérvese  que  al  resolver  la  ecuación  diferencia l se  divide por    lo  cual  se  supone que   ,  pero  se  puede  verificar  que    es  solución,  en  este  caso  es  una  solución  singular.  Por  lo  tanto,  el  problema  de  valor  inicial tiene  solución  pero  no  es  única,  como  se  puede  predecir  que  esto  pasara  sin  tener  que  resolverlo  ?  A  continuación  se  vera  el  teorema  que  dará  una  respuesta.
Teorema:

Sea  tal que . Si  y  son continuas en, entonces existe un intervalo abierto , centrado en  y una función  definida en , que satisface el problema de valor inicial 

 
En el ejemplo anterior se tieneque  y , las cuales son continuas en el semiplano definido por ; entonces, el teorema garantiza que para cada punto  con  de ese semiplano, hay un intervalo centrado en  en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo se sabe que el problema de valor inicial



Tiene una sola solución, mientras que para los problemas en donde  el teorema no...