problemas de distribucio

Matemáticas CCSS II

1

Probabilidad

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
La mayoría de estos problemas han sido propuestos en exámenes de selectividad de los distintos distritos
universitarios españoles.

1. Considérese una población en la que se estudia una característica X que sigue una
distribución normal de media  = 12 y varianza 2 = 16. Se pide:
a) Probabilidad de que unelemento de esa población, elegido al azar, tenga la característica
superior a 14.
b) Considérese una muestra aleatoria de tamaño n = 9. ¿Cuál es la probabilidad de que la

  
media muestral X tenga un valor superior a 14?  X  N   ,




n 



Solución:
a) La distribución es normal N(12, 4). La desviación típica,  = 4.
X 
Se tipifica haciendo el cambio Z 
, luego:
6

P(X > 14) = P  Z 
 = P( Z > 0,5) = 1  P(Z < 0,5) = 1  0,6915 = 0,3085
 


  
b) Las medias muestrales de tamaño n se distribuyen según la normal  X  N   ,
 .



n 




4 
En este caso: N 12,
  N(12, 4/3)


9

Por tanto:
14  12 

P( X > 14) = P  Z 
 = P( Z > 1,5) = 1  P(Z < 1,5) = 1  0,9332 = 0,0668
4/3 
José María Martínez Mediano

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2

Probabilidad

2. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una
variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras
aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera deuna muestra de 25 clientes
no supere los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64
clientes? Especificar sus parámetros.
Solución:
a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media  y desviación típica ,

 
N(. ), se distribuye según una normal N   ,
.


n

En nuestro caso, para n = 25 y N(10, 2),las muestras se distribuyen según la N(10, 2/5).
Con esto,

9  10 

P  X  9  = P Z 
 = P(Z < –2,5) = 1 – P(Z < 2,5) = 1  0,9938 = 0,0062
2/5 

b) Como hemos indicado anteriormente, la distribución de medias muestrales de tamaño 64 se

2 
distribuye según la normal N 10,
  N(10, 0,25).


64 

Esto es, una normal de media 10 y desviación típica 0,25.

JoséMaría Martínez Mediano

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3

Probabilidad

3. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable
aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación
típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la
media muestral de la edad de casamiento.
a) ¿Cuáles sonla media y la varianza de X ?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté
comprendida entre 36 y 37 años?
Solución:
La población se distribuye como una normal de media  = 35 y desviación típica  = 5.
a) Las muestras de una población N(, ) se distribuyen según la normal de media X =  y

desviación típica  X 
, siendo n el tamaño muestral.
n
51
1
 . Luego, la varianza será  X 2 
Por tanto, X = 35 y  X 
4
100 2
b) Esta distribución se tipifica mediante el cambio Z 

X X

. Para este caso, Z 

/ n
Con esto, con ayuda de la tabla normal, se tiene:
37  35 
 36  35
P(36 < X < 37) = P
Z
 = P(2 < Z < 4) = P(Z < 4)  P(Z < 2) =
1/ 2 
 1/ 2
= 1  0,9772 = 0,0228.

X  35
.
1/ 2

4. La duración delas baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una
distribución normal de media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra
aleatoria simple de 36 teléfonos móviles.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté
comprendida entre 32 y 33,5 horas.
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
Solución:
La media de las...