Problemas de estadística resueltos

Problemas de Probabilidad resueltos.
Problema 1 El profesor P´rez olvida poner su despertador 3 de cada 10 dias. Adem´s, ha comprobado e a que uno de cada 10 dias en los que pone el despertador acaba no levandandose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 dias en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo a dar su primera clase. (a) Identifica y da nombre a lossucesos que aparecen en el enunciado. (b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el profesor P´rez llegue a tiempo a dar su primera clase? a e (c) Si un d´ no ha llegado a tiempo, ¿que probabilidad hay de que olvidase poner el despertador la ıa noche anterior? Soluci´n: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando. Este o consiste en tomar un d´ al azar en la vida delprofesor P´rez y analizarlo en base a los siguientes sucesos. ıa e (a) Para un d´ al azar decimos que se ha dado el suceso: ıa O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase. ¯ ¯ Notemos que tanto {O, O} como {T , T } forman un sistema completo de sucesos. A continuaci´n trao ducimos en t´rminos de probabilidad de los sucesosanteriores todos los datos que nos dan en el enunciado. e P (O) = ¯ P (O) = 3 , 10 ¯ P (T |O) = 2 , 10

7 1 ¯ , P (T |O) = . 10 10 (b) El suceso ”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que calculemos ¯ ¯ P (T ). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la f´rmula de la probabilidad o total, de donde tenemos que: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P (T ) = P (T|O)P (O) + P (T |O)P (O). En la expresi´n anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo o ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ no conocemos directamente el valor de P (T |O). Para calcularlo utilizamos que P (T |O) = 1 − P (T |O) = 1 9 1 − 10 = 10 . De esta forma, la expresi´n anterior se puede escribir como: o ¯ P (T ) = 9 7 69 2 3 + = = 0.69. 10 10 10 10 100

(c) Nos pidencalcular la probabilidad del suceso O sabiendo que ha tenido lugar el suceso T , esto es, ¯ P (O|T ). Como {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos utilizar el Teorema de Bayes para calcular P (O|T ). As´ ı, P (O|T ) = P (T |O)P (O) . ¯ ¯ P (T |O)P (O) + P (T |O)P (O)

2 ¯ En la expresi´n anterior nos falta por conocer P (T |O). Utilizando que P (T |O) = 1 − P (T |O) = 1 − 10 = o 8 10 ,llegamos a que

8 3 24 10 10 P (O|T ) = = ≈ 0.7742. 1 7 8 3 31 + 10 10 10 10

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Problema 2 Un banco local revisa su pol´ ıtica de tarjetas de cr´dito, con el objetivo de cancelar algunas e de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Adem´s, el banco ha comprobado que la probabilidad ade que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1. (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado. (b) Elegido un clienta al azar, ¿qu´ probabilidad hay de que el cliente se atrase en un pago mensual? e (c) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcular la probabilidad de que elcliente acabe convirtiendose en moroso. (d) Al banco le gustar´ cancelar la l´ ıa ınea de cr´dito de un cliente si la probabilidad de que ´ste acabe e e convirtiendose en moroso es mayor de 0.25. De acuerdo con los resultados anteriores, ¿debe cancelar una l´ ınea si un cliente se atrasa en un pago?¿Por qu´? e Soluci´n: Comenzamos identificando el experimento aleatorio. En este caso consiste en elegiral azar o a un cliente del banco que tenga tarjeta de cr´dito y preguntarnos por los siguientes sucesos. e (a) Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso: M ≡ cuando el cliente es moroso, A ≡ cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual. ¯ ¯ Los conjuntos de sucesos {M, M} y {A, A} son dos sistemas completos de sucesos. A continuaci´n reeo scribimos los datos que nos...