Problemas de integrales

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Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.En segudo lugar se calcula la integral:

2-Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primerlugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

3..- Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

4-Calcular el área limitada por lacurva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

5-Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

El área, por razones de simetría, se puede escribir:6-Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

Calculamos la integralindefinida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

7-Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

8-Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

9-Calcular el área limitadapor la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

10-Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.
Enprimer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración....
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