Problemas de quimica cuantica

Problemas. Fundamentos de Qu´ ımica Cu´ntica. a

1◦ de Qu´ ımica G12, Hoja 2

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1. Dada la la siguiente funci´n de onda aproximada de una partcula en una caja de potencial monoo dimensi´nal(x), o x2 − ax 0 ≤ x ≤ a (dentro de la caja) ψ= 0 0 ≥ x, x ≥ a (fuera de la caja) (a) Comprobar que es una funci´n de onda aceptable (o sea, bien comportada). o (b) Normalizar la funci´n ψ. o (c)Comprobar si ψ es una funci´n propia del hamiltoniano del sistema. o (d) Determinar E y comparad con el valor exacto para la energ´ del estado fundamental E = ıa h2 . 8ma2

2. La funci´n de onda delsegundo estado excitado de un oscilador arm´nico monodimensional es: o o Ψ(x) = N2 (2αx2 − 1) e−
αx2 2

α=

kµ ¯2 h

siendo k la constante de fuerza del oscilador y µ la masa reducida del sistema.(a) Comprobar que la constante de normalizaci´n N2 vale o
α 1/4 4π

.

(b) Hallar x . (c) Determinar los puntos de retorno cl´sicos del oscilador en el estado dado arriba, expresando el aresultado en funci´n de α o (d) Determinar la posici´n de los nodos de Ψ(x). o
∞ 0 ∞ 0 1/2

e−βx dx = x2n e−βx dx =
2

2

1 2

π β

, π

(β > 0)
1/2

1 · 3 · · · (2n − 1) 2n+1

β 2n+1

,(β > 0, n = 1, 2, 3, . . .)

3. Sea un sistema formado por una part´ ıcula de masa m en una caja en tres dimensiones, a, b y c, tales que √ b = a y c = 2a. h2 (a) Dibujar un diagrama de nivelesde energ´ para el sistema, en unidades de 8ma2 , para los 4 primeros ıa niveles energ´ticos, indicando su degeneraci´n. e o (b) Escribir la funci´n de onda del estado fundamental. o ˚ (c) Si la part´ıcula es un electr´n y a =1 A, calcular la longitud de onda y el n´mero de ondas para la o u transici´n desde el estado fundamental hasta el primer estado excitado del sistema. o 4. La funci´n de ondadel primer estado excitado de un oscilador arm´nico de masa m y constante de fuerza o o k es √ 1 4α3 4 − α x2 km 2 ψ= xe , con α = π ¯ h (a) Esbozar la gr´fica de las funciones ψ y ψ 2 . a (b)...