Problemas Ecuaciones Diferenciales

Complemento 3 del capítulo 1

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.3 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO 1.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO 1.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICOUTILIZANDO MAPLE 7 1.6 PRÁCTICA DE LABORATORIO: CRECIMIENTO DE UNA CÉLULA SUSPENDIDA EN UNA SOLUCIÓN 1.7 PRÁCTICA DE LABORATORIO: DEMOSTRACIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

1.3 APLICACIONES DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO
En los problemas 1 al 12 establezca la ecuación diferencial que representa lasituación física planteada y resuélvala por el método de separación de variables, introduciendo las condiciones de contorno para obtener el modelo matemático del escenario. 1. Cuando un rayo de luz pasa a través de una sustancia transparente su intensidad I disminuye en forma proporcional a I (t ) , en donde t representa el espesor del medio expresado en pies. En agua de mar la intensidad a 3 piesbajo la superficie es 25% de la intensidad inicial I 0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie? 61

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Complemento 3 del capítulo 1

Solución Los datos que se tiene son I 0 = 100% I 3 = 25% I 15 = ? y la ecuación diferencial del problema es dI = KI dt Aplicando en esta ecuación el método de separación de variables se obtiene que dI = Kdt I ⇒ ln I =Kt + C ⇒ e ln I = e Kt + C = ce Kt ⇒ I (t ) = ce Kt t=0 t=3 t = 15

Sustituyendo aquí la condición inicial se encuentra que I (t ) = I 0 e Kt Sustituyendo en esta ecuación la condición de frontera se obtiene que .25 = I 0 e 3K Sustituyendo el valor de K resulta que I (t ) = I 0 e −0.4620 t y de aquí se tiene que I (15 ) = e
−.4620 (15 )

1

K = ln .25 / 3 = −0.4620

= .00097800086

Portanto, la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie es I(15 ) ≅ 0.1% 2. Un marcapasos esquematizado consta de una pila eléctrica, un pequeño capacitor y el corazón, que funciona como resistencia en el circuito. Cuando el conmutador S se conecta a P, el capacitor (o condensador) se carga; cuando S está conectado a Q, el capacitor se descarga enviando un estímulo eléctrico al corazón. Duranteeste lapso la tensión eléctrica aplicada al corazón está dada por dE 1 =− E; dt RC t1 < t < t 2 Corazón

R

Q conmutator P

S

C E0

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

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en donde R y C son constantes. Determinar E (t ) si E (t 1 ) = E 0 , la fuerza electromotriz de la pila. Desde luego la conmutación (el cambio de conexión del conmutador) es periódica, a finde simular el ritmo cardiaco natural y producir el estímulo del corazón. Los datos que se tienen son dE 1 =− E; dt RC E (t ) = ? E (t 1 ) = E 0 Solución Separando variables se obtiene que t 1 < t < t 2,

∫

dE =− E

∫

1 dt RC 1

1

E = e⎝
− t RC

⎛ t ⎞ +c1⎟ ⎜− ⎠ RC

E = c 2e

Sustituyendo la condición inicial se obtiene que E 0 = c 2e
− t1 RC

1 e

E0
− t1 RC

= c21

E= e

E0
− t1 RC

e

−

t RC

1 Por tanto la solución particular es

E = E 0e

−

t1 t1 RC e RC

− (t − t 1 )

E (t ) = E 0 e

RC

3. En cierto modelo que representa la variación de la población P(t) de una comunidad se supone que dP dB dD = − dt dt dt en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y de mortalidad, respectivamente. a) Determinar P(t) si dB = k 1Pdt y dD = k 2P dt

b) Analizar los casos k 1 > k 2 , k 1 = k 2 y k 1 < k 2

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Complemento 3 del capítulo 1

Solución a) Sustituyendo dD dB = k 2 P en dP = dB − dD se tiene que = k 1P y dt dt dt dt dt dP = k 1P − k 2 P dt 1 1 (k 1 − k 2 ) dP = dt ( k 1 − k 2 )P 1 ln( k 1 − k 2 )P = t + c (k 1 − k 2 ) P= k e ( k 1 − k 2 )t (k 1 − k 2 )

1

∫ (k

( k 1 − k 2 )dP = dt 1 − k 2 )P

∫...