Problemas Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.MODELO DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
Una Poblacio bacteriana B se sabe que tiene una taza de crecimiento poblacional a B misma. Si entre el medio día y las 2pm, la población se triplica. A
qué tiempo si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que en el
medio día?
Sea :
x: La Población Bacteriana B
t: el tiempo
entonces:
x
t

x0
0

3x02

100x0
t

x1t
x=kt
Determinamos k: - Ahora encontramos el t para que B sea 100 veces mayor:
dx
dt

dx
dt

= kx

R 3x0
xo

dx
x

=

R2
0

= kx

R 100x0

kdt

xo

ln xe3x0 = kte2
xo
0

dx
x

=

Rt
0

kt

ln xe100x0 = kt
xo
ln(1002 )
ln 3

ln 3 = 2k

=t

t = 8:383h:
k=

ln 3
2

1

2. DESINTEGRACION DE UNA SUSTANCIA RADIOACTIVA
Unasustancia radioactiva se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Su Vida media se de…ne como el tiempo necesario para que el
50% de una cantidad dada se desintegre. Deduzca una fórmula en términos del
tiempo para la cantidad de la sustancia que queda, la cantidad original y la vida
media de la sustancia.
cantidad de la sustancia radioactiva = x
dx
K
dt =
1
x x0 x0 2x0 1
2
t0
t1
t2
Cantidad Original:
cia que queda:
dx
k
dt =
R x0 dx
R0
=0 k
xo dt
R t2
k
0
ln xex0 = 0
xo
k t2
ln 1 = 0
k t2
0=0

Vida Media:
dx
dt

= kt
R x0 1 dx
2
dt

xo

=

ln xex0 =
xo
1
ln( 2 ) =

R t1

Sustandx
dt

k

t0

k t1

=

kt
R x0 1
xo

2

dx
dt

=

ln xex0 =
xo
ln( 1 ) =
2

k t1

1
k t2 = ln( 2 )

k t1 = ln(1 )
2

3. INTENSIDAD DE RAYO
Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente,
la rapidez con que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), donde t
representa el espesor medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la
intensidad a 3 pies bajo la super…cie es un 25% de la intensidad inicial Io del
rayoo incidente. Cuánta es la intensidad del rayo a 15pies bajo la super…cie?
dI
KI
dt =
0
I I0 I4 I
t0
3
15
dI
dI
kI
kI
dt =
dt =
R I4 dI
R3
R I dI
R 15
0
I0
=0 k
k
I=3
I0 I
4

I0

ln I eI4 =
0
1
4

ln xeI 0 =
I

3K

ln = 3K
1
K = ln(4 3 )

I
I0

15K + 3K

4

= 0:0009765625
I0 = 1024I
I = 0:0009765625I0

2

4. CIRCUITO ELÉCTRICO
En un circuito serie compuesto por una resistencia, unainductancia y una
fuente de alimentación e(t) circula una corriente eléctrica cuya intensidad es
i(t).Teniendo en cuenta que la ley de ohm establece que la diferencia de potencial
que cae sobre una resistencia es E proporcional a la intensidad de corriente (la
constante de proporcionalidad es el valor óhmico de la resistencia).
La ley de Faraday estable que la caída de tensión en una inductancia esproporcional a la rapidez de variación de la intensidad de corriente que la circula
(la constante de proporcionalidad es el valor del coe…ciente de autoinducción de
la inductancia). La segunda ley de Kirchho¤ estable que la suma de todas caídas
de tensión que se producen en un circuito serie es igual al voltaje provisto por
la fuente de alimentación.
1) Encontrar un modelo matemático delcual se pueda calcular la intensidad
de corriente en función del tiempo.
2) En particular si el valor óhmico de la resistencia es de 12(ohms),el coe…ciente de autoinducción de la inductancia es de 4 H (henrios) y la fuente
de alimentación es una batería que suministra un voltaje constante e igual a de
60(voltios) y el interruptor se cierra cuando t=0. ¿Cuál es la expresión temporal
de laintensidad de corriente eléctrica por el circuito?
L=Valor de la inductancia
E= Voltaje suministrado por la bateria
R= Valor de la resistencia
i=corriente que circula por el circuito
1)
di
L dt + R i = E
di
dt

+

R
L

i=
R

E
L

R

L dt
i(t) = e
c = i(t = 0)

2)

hR

(e

hR

(e

R

R
L dt

E
L )dt

i
+c

R
L dt

E
L )dt

i
+ i(0)

si t=0

!...