ecuaciones diferenciales problemas
Practica n.-1
I) Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que
cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.
a)
y C1senx C2 x es solución de (1 xctgx) y xy y 0
Solución:
y C1 Senx C2 x
y C1cosx C2
y C1Senx(1 x c tgx) y (1 xctgx)(C1Senx) C1senx C2 x cos x ……….. (1)
xy x(C1cosx C2 ) xC1cosx C2 x …………………. (2)
y C1 Senx C2 x …………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
(1 x c tgx) y xy y C1senx C1x cos x C1x cos x C2 x C1senx C2 x
(1 x c tgx) y xy y 0
x
x
x
x
2 x
b) y C1e C2 xe C3 e 2 x e es solución de y y y y 8e
Solución:
y C1e x C2 xe x C3 e x 2 x 2 e x
y C1e x C2e x C2 xe x C3e x 4xe x 2x 2e x
y C1e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x 4e x 4xe x 4xe x 2x 2e x
y C1e x C2e x C2e x C2ex C2 xex C3e x 4ex
4e x 4 xex 4ex 4 xex 4 xex 2 x2 ex .......… .. (1)
y C1e x C2e x C2ex C2 xex C3e x 4ex
4 xe x 4xe x 2 x2e x ……………………..… … (2)
y C1e x C2e x C2 xe x C3e x 4xe x 2x 2e x … ….. (3)
y C1e x C2 xe x C3 e x 2 x 2 e x ………………….. (4)
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)
y y y y C1e x C2e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x
4e x 4e x 4 xe x 4e x 4 xe x 4 xex 2 x2e x
C1e x C2e x C2e x C2 xex C3e x 4e x 4 xe x
4 xe x 2 x2e x C1e x C2e x C2 xex C3e x
4 xe x 2 x 2e x C1e x C2 xe x C3e x 2 x2 ex
y y y y 8e x
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
INGENIERIA ELECTRICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
y 2 x Ce x es la solución de la ecuación diferencial, y y y 2 2 x hallar la
solución particular para x 0, y 3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por(0,3))
2) Demostrar que
Solución:
y 2 x Ce x
y 2 Ce x …………………….. (1)
y 2 x Ce x ……………………..(2)
Luego sumamos (1) y (2)
y y 2 Ce x 2 x Ce x
y y 2 2 x
( x, y) (0,3)
3 2(0) Ce0
La ecuación de la curva integral es:
C 3
y 2 x 3e x
3) Demostrar que y C1e C2 e x es solución de y 3 y 2 y 2 x 3 y hallar laecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
x
2x
Solución:
y C1e x C2 e 2 x x
y C1e x 2C2e2 x 1
y C1e x 4C2e2 x ………………….…… (1)
3 y 3C1e x 6C2e2 x 3 …….………..… (2)
2 y 2C1e x 2C2e2 x 2 x ….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
y 3 y 2 y C1e x 4C2e2 x 3C1e x 6C2e2 x 3
2C1e x 2C2e2 x 2 x
y 3 y 2 y 2 x 3
( x, y) (0,0)
0 C1e0 C2e2(0) 0
0 C1 C2
C2 C1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
INGENIERIA ELECTRICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
0 C1e1 C2e2(1) 1
( x, y) (1,0)
0 C1e C1e2 1
C1
1
e(e 1)
C1e(e 1) 1
C2
1
e(e 1)
La ecuación de la curva integral es:
y
ex
e2 x
x
e(e 1) e(e 1)
4) Demostrar que ( y C ) Cx es la primitiva de la ecuación diferencial 4 xy 2 xy y 0 y
hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)
2
5) La primitiva de la ecuación diferencial xy y es y Cx . Hallar la ecuación de la curva integral
que pasa por el punto (1,2)
Solución:
y Cx
y C
xy xC
xy y
( x, y) (1, 2)
2 C (1)
y 2x
La ecuación de la curva integral es:
6) Comprobar que
C2
y C1cosx C2 senx y, y Acos( x B) son primitivas de y y 0
demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.
Solución:
.
y C1cosx C2 senx
y C1senx C2 cos x
y C1Cosx C2 Senx …………………….. (1)
y C1cosx C2 senx ………………………(2)
Luego sumamos (1)...
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